专题2 第3讲 三角恒等变换与解三角形-（配套课件）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

专题二　三角函数与解三角形 第3讲　三角恒等变换与解三角形 1 考情分析 KAO QING FEN XI 1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查解三角形、 求面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考 查求解最值、范围问题. 2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中 等难度. 内 容 索 引 考点一 考点二 考点三 专题强化练 1 考点一　三角恒等变换 PART ONE 核心提炼 1.三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化. √ 解析　∵2sin θ＝1＋cos θ， √ 所以cos(α＋β)<0， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α 易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况. (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. (3)根据条件合理的拆角，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等. √ 5 则2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]， ∴2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]， 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α. 2 考点二　正弦定理、余弦定理 PART TWO 核心提炼 2.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. √ 解析　在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A， 规律方法 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理. (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形. (3)涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题，求三角形面积时用S＝ absin C形式的面积公式. √ 解析　根据正弦定理，可知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 又∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 则ac＝4， 所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12， 3 考点三　正弦定理、余弦定理的综合应用 PART THREE 核心提炼 解三角形中的最值与范围问题的解题策略 (1)由余弦定理找出三角形的边的关系，利用基本不等式求最值或范围. (2)将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围求最值或范围. 考向1　解三角形中的开放性问题 解　选择①： 又sin B≠0， 选择②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　由正弦定理得，b＝3c，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A， 考向2　解三角形中的最值与范围问题 (1)求∠BDC； 解得BD＝4或BD＝－5(舍去)， 整理得(x＋y)2－16＝3xy，又x>0，y>0， 即(x＋y)2≤64，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即(x＋y)max＝8， ∴(AB＋AD＋BD)max＝8＋4＝12， ∴△ABD周长的最大值为12. 规律方法 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，题中若出现一次式，一般采用正弦定理，出现二次式一般采用余弦定理，应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围. (1)求角B的值； 解　选①：(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin A， (2)若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求△ABC的面积的取值范围. 解　已知△ABC为锐角三角形，且b＝1， ∵△ABC为锐角三角形， 4 专题强化练 PART FOUR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ A.等腰三角形 B.直角三