专题1 培优点3 洛必达法则-（配套课件）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

培优点3　洛必达法则 专题一　函数与导数 1 例　已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 解　方法一　由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0， 当x＝1时，不等式成立， 故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增， 则y＝x2－1－2ln x>0， 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增. 方法二　f′(x)＝2xln x＋x－2ax＝x(2ln x＋1－2a)， 因为x≥1，所以2ln x＋1≥1， 此时f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 得x＝x0，且2ln x0＋1－2a＝0，x0＝ ， 则x∈[1， )时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， x∈( ，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 所以f(x)min＝ 此时，f(x)≥0不成立. 能力 提升 对函数不等式恒成立求参数取值范围时，大家常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论.若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷.此时，利用洛必达法则. 跟踪演练 已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 解　当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a都有f(x)≥0； 令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)， 则h′(x)＝xex－ex＋1， 记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0， ∴h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝0， ∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)>h(0)＝0， ∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增. 本课结束 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1)f(x)＝g(x)＝0(或∞)；(2)在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3)＝A(A可为实数，A也可以是±∞).则＝＝A(可连续使用). 当x>1时，a≤， 令g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝， 因为x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－>0， 故g′(x)＝>0. 则g(x)>g(1)，由洛必达法则知 ＝＝. 所以由a≤恒成立，得a≤. 则当a≤时，f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)≥0， 所以f(x)≥f(1)＝0，此时f(x)≥0恒成立，所以a≤； ＝ ·－a[( )2－1] ＝e2a－1－a(e2a－1－1)＝a－＝<0. 综上，a≤. 当a>时，由f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)＝0， 当x>0时，由f(x)≥0得，a≤， 则g′(x)＝， 设g(x)＝， 综上，实数a的取值范围是. 由洛必达法则知 ＝ ＝ ＝，故a≤. $