专题1 培优点1 函数的公切线问题-（配套课件）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

培优点1　函数的公切线问题 专题一　函数与导数 1 导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养. 例　(1)若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于 A.1 B.2 C.3 D.3或－1 √ 解析　设在函数f(x)＝ln x处的切点为(x，y)， 根据导数的几何意义得到k＝ ＝1，解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1， 此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1， 化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. (2)已知曲线y＝ex在点(x1， )处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于 A.－1 B.－2 C.1 D.2 √ 解析　已知曲线y＝ex在点(x1， )处的切线方程为y－ (x－x1)， 即y＝ ， 所以(x1＋1)(x2－1)＝－2. (3)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝aex(a>0)存在公切线，则a的取值范围 是_______. 解析　设公切线在y＝x2上的切点为(x1， )，在y＝aex(a>0)上的切点为(x2， ). 函数y＝x2，y＝aex(a>0)的导数分别为y′＝2x，y′＝aex， 则公切线的斜率为2x1＝ ，整理得a＝ . 由a>0可知，x2>1， f′(x)>0⇒1<x<2；f′(x)<0⇒x>2， ∴f(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减， 能力 提升 解决曲线的切线问题，核心是切点坐标，因为切点处的导数就是切线的斜率，公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解. 跟踪演练 1 2 3 4 √ 解析　由f(x)＝x2，得f′(x)＝2x，则f′(1)＝2， 又f(1)＝1，所以函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 1 2 3 4 1 2 3 4 2.(2021·雅安模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为 A.2 B.5 C.1 D.0 √ 又g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1. 解析　根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0， 由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a， 因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同， 1 2 3 4 14 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－1相切于点Q(x2，y2)，y′＝ex，k2＝ ， ∴l1：y＝ ，l2：y＝ ， ∴x2＝－ln 2， 1 2 3 4 4.曲线C1：y＝ln x＋x与曲线C2：y＝x2有____条公切线. 1 1 2 3 4 设点(x1，ln x1＋x1)是曲线C1上任一点， ∴曲线C1在点(x1，ln x1＋x1)处的切线方程为 1 2 3 4 依题意知两切线重合， 1 2 3 4 当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)只有一个零点. 即方程①只有一个解，故曲线C1与C2只有1条公切线. 本课结束 由题意得得x2＝ ， ＝－1＋ln x2＝－1＋ ＝－1－x1，则 ＝. 曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝  x－1＋ln x2， 又x2＝ ，所以x2＝， 所以x2－1＝－1＝， 令f(x)＝，x∈(1，＋∞)，则f′(x)＝＝， x f(x)max＝f(2)＝；当x→＋∞时，f(x)→0，即0<f(x)≤， ∴a∈. 1.已知函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线与函数g(x)＝的图象相切，则实数a等于 A. B. C. D.e 解得x0＝，a＝ ＝. 设y＝2x