专题1 第6讲 母题突破2 恒成立问题与有解问题-（配套课件）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

专题一　第6讲　导数的综合应用 母题突破2　恒成立问题与有解问题 1 内 容 索 引 母题突破2　 专题强化练 1 母题突破2　恒成立问题与有解问题 PART ONE 母题　已知函数f(x)＝axln x，当x≥1时，f(x)≤x3恒成立，求实数a的最大值. 思路分析一 ❶x≥1，f(x)≤x3 ↓ ❷aln x－x2≤0 ↓ ❸(aln x－x2)max≤0 ↓ ❹求φ(x)＝aln x－x2(x≥1)的最大值 思路分析二 ❶x≥1，f(x)≤x3 ↓ ↓ ↓ 解　方法一　当x≥1时，axln x≤x3恒成立， 即aln x－x2≤0恒成立， 令φ(x)＝aln x－x2(x≥1)， 当a≤2时，a－2x2≤0， ∴φ′(x)≤0， ∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)max＝φ(1)＝－1≤0恒成立， ∴a≤2. ∴2<a≤2e， 综上有a≤2e， ∴a的最大值为2e. 方法二　依题意，当x≥1时，axln x－x3≤0恒成立，当x＝1时，－1≤0，不等式恒成立，故a∈R； 综上，a≤2e， ∴实数a的最大值是2e. 子题1　(2021·北京模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ ax2＋ax(a∈R). (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； 解　当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex， f(0)＝(0－2)e0＝－2， f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1， 所以切线方程为y＋2＝－(x－0)，即x＋y＋2＝0. (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 解　方法一　f′(x)＝(x－1)(ex－a)， ①当a≤0时，因为x≥2，所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0， 则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(2)＝0成立. ②当0<a≤e2时，f′(x)≥0， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(2)＝0成立. ③当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f′(x)<0；在区间(ln a，＋∞)上，f′(x)>0， 所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]. 当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R. 因为x>2，所以g′(x)>0， 所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增. 所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2. 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]. 在[1，e]上存在x0，使得f(x0)<g(x0)成立， 即在[1，e]上存在x0，使得F(x0)<0， ∵a>0，∴a＋1>1，又x∈(0，＋∞)，∴x＋1>0， ∴当x∈(0，a＋1)时，F′(x)<0； 当x∈(a＋1，＋∞)时，F′(x)>0， ①当1<a＋1<e，即0<a<e－1时，F(x)在[1，a＋1)上单调递减，在[a＋1，e] 上单调递增， ∴F(x)min＝F(a＋1)＝a＋2－aln(a＋1)， ∵0<ln(a＋1)<1， ∴0<aln(a＋1)<a， ∴a＋2－aln(a＋1)>2，此时F(a＋1)<0不成立. ②当a＋1≥e，即a≥e－1时，F(x)在[1，e]上单调递减，∴F(x)min＝F(e)， 规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. ②分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别. 跟踪演练 1 2 当x∈(1，e]时，h′(x)>0，h(x)在(1，e]上单调递增， 1 2 1 2 2.(2021·昆明联考)已知函数f(x)＝eax－x. (1)当a＝1时，求f(x)在x＝1处的切线方程； 解　当a＝1时，f(x)＝ex－x， ∴f(1)＝e－1，∴切点为(1，e－1)， 又f′(x)＝ex－1，∴f′(1)＝e－1， ∴切线方程为y－(e－1)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y＝0. 1 2 (2)若不等式f(x)≥eaxln x－ax2对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围. 1 2 解　由f(x)≥eaxln x－ax2，即ax2－x≥eax(ln x－1)， ∴当x∈(0，e]时，g′(x)>0，则g(x)在(0，e]上单调递增， 1 2 即h(x)在(0，e]上单调递增， 1 2 2 专题强化练 PART TWO 1.(2021·合肥模拟)已知函数f(x)＝ex－1－ax. (1)当a＝1时，求证：f(x)≥0；