专题1 第6讲 母题突破1 导数与不等式的证明-（配套课件）2022老高考文科数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫宁桂贵云川藏）

专题一　函数与导数 第6讲　导数的综合应用 1 1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调 性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、 数列等的交汇命题是高考的热点和难点. 2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大. 考情分析 KAO QING FEN XI 内 容 索 引 母题突破1　 专题强化练 母题突破1　导数与不等式的证明 母题突破1　导数与不等式的证明 母题　(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2). (2)证明：当a≥ 时，f(x)≥0. (2)思路分析 ↓ ↓ ↓ 当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0. 所以x＝1是g(x)的最小值点. 故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0. 方法二　易证ex≥x＋1， ln x≤x－1， 即证f(x)≥0. 子题1　证明：当x∈(0,1)时，ex－1·ln x<x2－x. 证明　要证ex－1·ln x<x2－x＝x(x－1)， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增， 又当x∈(0,1)时，ln x<0，x－1<0， 且易证ln x<x－1， ∴f(ln x)<f(x－1)， 即证原不等式成立. ∴φ(x)在(0,1)上单调递增， 又当x∈(0,1)时，ex－1∈(0,1)，且易证ex－1>x， 即证原不等式成立. 证明　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 令m′(x)>0，得0<x<1；令m′(x)<0，得x>1， 所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以m(x)max＝m(1)＝0， 即ln x－x＋1≤0，则ln x≤x－1. 令n(x)＝ax2－2x＋2， 只需证明ln x－1－ax2<－x，即ln x<ax2－x＋1， 因为1<a<2，所以Δ＝4－8a<0， 所以n(x)>0恒成立，即ax2－2x＋2>0， 所以ax2－x＋1>x－1. 综上所述，ln x<ax2－x＋1， 即当1<a<2时，f(x)<－1. 规律方法 利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x). (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数. (1)若f(x)有极大值或极小值，求a的取值范围； 跟踪演练 1 2 当a≥1时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)没有极值； 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(x)没有极值. 所以f(x)有极小值. 1 2 综上得a的取值范围是(0,1). (2)若a>0，求证：x>1时，f(x)>1＋(2a－1)x. 1 2 证明　当x>1时，要证f(x)>1＋(2a－1)x， 则g(1)＝0， 1 2 因为a>0，x>1， 所以x－1>0，ax＋1－a>a＋1－a＝1>0， 所以g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上是增函数， 所以g(x)>g(1)＝0，即f(x)>1＋(2a－1)x. 1 2 2.已知函数f(x)＝x＋aln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； 1 2 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 2 当a≥0时，f′(x)≥0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a<0时，若x∈(－a，＋∞)，则f′(x)>0； 若x∈(0，－a)，则f′(x)<0. 所以f(x)在(－a，＋∞)上单调递增，在(0，－a)上单调递减. 1 2 (2)当a＝1时，证明：xf(x)<ex. 令g′(x)>0，得x∈(0，e)；令g′(x)<0，得x∈(e，＋∞). 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 1 2 证明　当a＝1时，要证xf(x)<ex， 即证x2＋xln x<ex， 所以h(x)min>g(x)max， 1 2 当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 1.已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln x，a>0. (1)求函数y＝f(x)的单调区间； 专题强化练 1 2 (2)当a＝1时，证明：对任意的x>0，f(x)＋ex>x2＋x＋2. 1 2 证明　方法一　∵a＝1，∴