专题20 幂函数-2022年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题20 幂函数 【知识点梳理】 知识点一：幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数. 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数. 知识点二：幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． (3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【题型归纳目录】 题型一：幂函数的概念 题型二：幂函数的图象的应用 题型三：幂函数的单调性 题型四：幂函数的奇偶性 题型五：幂值大小的比较 题型六：定点问题 题型七：定义域问题 题型八：值域问题 【典型例题】 题型一：幂函数的概念 1．（2022·河北沧州·高一期末）下列函数是幂函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由幂函数定义可直接得到结果. 【详解】 形如的函数为幂函数，则为幂函数. 故选：C. 2．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）下列函数是幂函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义判断. 【详解】 形如（为常数且）为幂函数， 所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数. 故选：C. 3．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数在上单调递减，则（       ） A．2 B．16 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意列出方程组，求得m的值，即得函数解析式，代入求值可得答案. 【详解】 由题意得，解得， 所以，故, 故选：D 4．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知点在幂函数的图象上，则=_______． 【答案】16 【解析】 【分析】 根据点在幂函数的图象上，求得函数的解析式即可. 【详解】 解：因为点在幂函数的图象上， 所以，解得， 所以，则， 故答案为：16 5．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数的图象经过点，则=____. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据幂函数过点，求出解析式，再有解析式求值即可. 【详解】 设， 则， 所以， 故， 所以. 故答案为： 6．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知幂函数的图象过点，则________ 【答案】3 【解析】 【分析】 先求得幂函数的解析式，再去求函数值即可. 【详解】 设幂函数，则，则， 则，则 故答案为：3 7．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若幂函数为偶函数，则 ________ . 【答案】 【解析】 【分析】 利用幂函数和偶函数的定义即可求解. 【详解】 ∵函数为幂函数， ∴，解得或， 又∵为偶函数， ∴， 故答案为：. 8．（2022·甘肃庆阳·高一期末）已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】 设出幂函数，代入点即可求解. 【详解】 由题意，设，代入点得，解得，则. 故答案为：. 9．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值，进而即得. 【详解】 由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，符合题意. 当时，，图象关于原点对称，不符合题意. 所以的值为， ∴. ，. 故答案为：4. 10．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高