【创新设计】2013-2014学年高中数学（湘教版）选修1-1（备课资源）第3章 导数及其应用（配套课件+活页训练+章末质量评估，18份）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．对于函数y＝1＋3x－x3来说，有 (　　)． A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3 C．极小值为－2，极大值2 D．极小值为－1，极大值3 解析　y′＝3－3x2，由y′>0得－1<x<1，由y′<0得x>1或x<－1， 所以y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上递减，(－1,1)上递增，(1，＋∞)上递减． 所以x＝－1时，y取得极小值1＋3×(－1)－(－1)3＝－1， x＝1时，y取得极大值1＋3×1－13＝3. 答案　D 2．若f(x)的定义域为(a，b)，f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则f(x)在(a，b)内极小值的个数为 (　　)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　由f′(x)的图象可知，f(x)在(a，b)内的增减情况为先增再减再增再减再增再减，所以f(x)在(a，b)内有2个极小值． 答案　B 3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(c－3a－2b)x＋d过点(0,3)，且函数在x＝1处有极值，则c，d的值分别为 (　　)． A．0,2 B．0,3 C．1,2 D．1,3 解析　由已知得函数f(x)的图象过(0,3)且f′(1)＝0 得：⇒ 答案　B 4．已知函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.　 解析　f′(x)＝＝0得a＝3.，由f′(1)＝ 答案　3 5．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的范围为________． 解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．由题意知f′(x)＝0有两个不相等的实数根． ∴36a2－12×3(a＋2)>0，∴a>2或a<－1. 答案　a>2或a<－1. 6．(2011·安徽高考)设f(x)＝，其中a为正实数． (1)当a＝时，求f(x)的极值点． (2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围． 解　对f(x)求导得 f′(x)＝ex.① (1)当a＝时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0， 解得x1＝. ，x2＝ 结合①，可知 x f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ( 极大值 ( 极小值 ( 所以，x1＝是极大值点． 是极小值点，x2＝ (2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上符号不变，结合①式与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立)． ∴Δ＝4a2－4a≤0，∴0 <a≤1. 7．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)． 解析　设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]．因为x＝－1是F(x)的一个极值点，所以F′(－1)＝0，得出f′(－1)＋f(－1)＝0，在选项D中，由图象观察得到f(－1)>0，f′(－1)>0，所以f(－1)＋f′(－1)>0与f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．选D. 答案　D 8．(2011·福建高考)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 (　　)． A．2 B．3 C．6 D．9 解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b. 由题意知f′(1)＝12－2a－2b＝0， ∴a＋b＝6≥2， ∴ab≤9.当且仅当a＝b时等号成立． 答案　D 9．函数f(x)＝x＋2cos x(－π<x<π)的单调递减区间是________；单调递增区间________；极小值点是________；极大值点是________． 解析　令f′(x)＝1－2sin x＝0，又－π<x<π，得x＝.f(x)，f′(x)的变化情况如下表： 或x＝ x x＝ x＝ f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 答案　　　和　 10．若函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b仅在x＝0处存在极值，则a的取值范围为________． 解析　f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)， 由已知得4x2＋3ax＋4＝0无解或有两个相同的实数根， ∴Δ＝9a2－64≤0. ∴－.≤a≤ 答案　 11．(2011·全国卷)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(a∈R)． (1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)； (2)若f(x)在x＝x0处取得极小值，x0∈(1,3)，求a的取值范围． (1)证明　f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a. 由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a得曲线y＝f