专题五 数列-【中职专用】高一上册数学暑假自学课（山东适用）

专题五 数列 【知识串讲】 知识点一：数列 1．集合的有关概念 1．数列的定义 按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an，可简记为{an}(n∈N＋).数列中的每一个数都称为数列的项，an是数列的第n项． 2．数列的分类 (1)按项数划分 有穷数列：项数有限的数列； 无穷数列：项数无限的数列． (2)按数列中项的大小分类 ①递增数列；②递减数列；③常数列；④摆动数列；⑤周期数列． 3．数列的通项公式 用序号n来表示数列相应项的公式称为数列的通项公式．一般地，数列的项an是序号n的函数． (1)如果已知数列{an}的通项公式，则可求出该数列中的任意一项． (2)有些数列，若已知其前几项，则可写出满足条件的一个通项公式． 4．数列的前n项和公式 (1)数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. (2)数列的前n项和Sn与通项公式an的关系： 例1. －1，7，－13，19，…，写出数列的一个通项公式． 变式训练1. ，写出数列的一个通项公式． 例2.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，求数列的通项公式． 变式训练2.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n－1，求数列的通项公式． 例3.已知数列{an}的递推公式是an＋1＝，且a1＝2，求a3的值. 变式训练3.已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝6an-7，求a4的值. 知识点二：等差数列 1．等差数列的定义 一般地，若一个数列从第2项起，每一项与它前一项之差为同一常数，则此数列为等差数列，此常数称为等差数列的公差，通常用小写字母d表示，即an＋1－an＝d. 2．等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A称为a与b的等差中项，且此时有A＝. 3．通项公式 an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋. (1)通项公式an为关于n的一元一次函数. (2)判定一个数列为等差数列的一般方法： ①定义法(从第2项起后一项与前一项之差为定值)； ②通项公式法：an＝kn＋b. 4．前n项和公式 (1)当公差d＝0时，前n项和Sn＝na1. (2)当公差d≠0时，前n项和Sn＝＝ . 5．等差数列的性质 (1)am＝an＋(m－n)d⇔d＝ (m≠n，m，n∈N＋). (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有am＋an＝ap＋aq. 特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap. (3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列． 例1．等差数列{an}中，a2＝9，a5＝33，则{an}的公差为________． 变式训练1. 在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝5，a2＋a3＋a4＝11，则公差d为________． 例2.已知等差数列{an}中，S6＝36，S9＝81，则a7＋a8＋a9＝________. 变式训练2.在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于________. 例3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前n项和． 变式训练3. 在等差数列{an}中，已知a4＝9，a9＝－6，Sn＝63，求n. 知识点三：等比数列 1．等比数列的定义 一般地，若一个数列从第2项起，每一项与其前一项之比为同一常数，则此数列为等比数列，此常数称为等比数列的公比，通常用小写字母q表示，即＝q. 2．等比中项 若3个数a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项，有G＝±或G2＝ab(ab>0). 3．通项公式 an＝a1qn－1，n∈N＋(a1，q≠0). 4．前n项和公式 (1)若公比q＝1，则Sn＝na1. (2)若公比q≠1，则Sn＝＝ . 5．等比数列的性质 (1)an＝amqn－m(m≠n，m，n∈N＋). (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有am·an＝ap·aq (3) Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列． 例1.等比数列{an}中，已知a2＝8，a5＝64，则公比q的值为 (　　) A．2 B．±2 C．4 D．±4 变式训练1.已知数列是等比数列，其中，，则该数列的公比q等于 （ ） A. B.2 C.4 D.8 例2.已知1和1/9的等比中项是3x,则实数x的值是