专题三 函数-【中职专用】高一上册数学暑假自学课（山东适用）

专题三 函数 【知识梳理】 知识点一：函数的概念及表示方法 1．函数的概念 (1)函数的定义 设集合A是一个非空数集，按照某种确定的对应法则f，对A中任意的实数x，都唯一确定的实数值y与它对应，则称这种对应法则为集合A上的一个函数，记作y=f（x），其中x为自变量，y为因变量. (2)函数的定义域：自变量x的取值集合A叫作函数的定义域． (3)函数的值域：因变量y的取值集合叫作函数的值域． (4)函数的两要素：定义域和对应法则是函数的两要素． 函数的两要素是判断两个函数是否是相同函数的理论依据，两者缺一不可． (5)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫作分段函数． 2．函数的表示方法 函数的表示方法有图像法、列表法、解析法. 3．常见函数的定义域 (1)整式函数y＝f(x)的定义域为R. (2)分式函数y＝的定义域为{x|g(x)≠0}. (3)函数y＝ (n∈N＋)的定义域为{x|f(x)≥0}. (4)函数y＝(n∈N＋)的定义域为R. (5)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R. (6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}. (7)函数y＝[f(x)]0的定义域为{x|f(x)≠0}. (8)如果函数由一些基本函数通过有限次四则运算结合而成，那么其定义域为这些基本函数定义域的交集.书写函数定义域时，要写成集合或区间的形式． 例1.下列图形中，是函数图像的是 (　　) 变式训练1.下列图形中，不可能是函数图像的是 (　　) 例2.设函数f（x）=x-3，则 （  ） A．6 B．7 C．9 D．10 变式训练2. 已知f（x）=2x-3，则f（2x）为 （   ） A．4x-3 B．2x-3 C．4x-6 D．2x-6 例3. 函数中，自变量x的取值范围是 （  ） A． B． C．且 D． 变式训练3.函数的定义域是_________． 知识点二：函数的单调性 1．概念 一般地，对于函数y＝f(x)在给定区间上任意两个不相等的值x1，x2，设Δx＝x2-x1，Δy＝y2-y1，当>0时，那么就说，函数y＝f(x)在这个区间上是增函数；当<0时，那么就说，函数y＝f(x)在这个区间上是减函数. 如果一个函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性.这个区间就叫作这个函数的单调区间. 函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间． 2．图象特征 增函数的图象自左而右逐渐上升，减函数的图象自左而右逐渐下降. 3．证明函数y＝f(x)的单调性的步骤 (1)在给定区间上任取两个不相等的自变量的值x1，x2，则Δx＝x2-x1，从而计算出Δy＝y2-y1； (2)计算出k＝； (3)判断：当k>0时，函数y＝f(x)在这个区间上是增函数，当k<0时，函数y＝f(x)在这个区间上是减函数. 4．基本初等函数的单调性的判定 基本初等函数的单调性的判定：先看定义域． (1)正比例函数、一次函数、反比例函数，主要看k的符号. (2)二次函数先看a的符号，然后求出对称轴，对称轴两侧单调性相反. (3)指数函数、对数函数的单调性，主要区分底数与1的大小． (4)分段函数分段讨论． 例1.（1）f(x)＝kx＋b(k>0)单调 （递增或递减）． （2）f(x)＝在(－∞，0)上单调 （递增或递减）． 变式训练1．（1）y＝－x＋3 单调 （递增或递减） （2）f(x)＝|x|在(－∞，0)上单调 （递增或递减）． 例2. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 (　　) A．y＝－2x＋3 B．y＝1/x C．y＝x+1 D．y＝－x2 变式训练2．下列函数在上单调递减的是 （  ） A． B． C． D． 例3. 函数y＝－1/x的单调减区间是________. 变式训练