专题二 方程与不等式-【中职专用】高一上册数学暑假自学课（山东适用）

专题二 方程与不等式 【知识梳理】 知识点一：一元二次方程 1．配方法 （1）配方法的主要思想 以完全平方公式为依据，对所给的二次三项式进行恒等变形、化简，得到形如 的代数式． 配方法是中学数学解决二次问题的一种重要方法，可以作为解二次问题的统一方法． （1）对二次三项式进行配方的一般步骤： ①把 变形为； ②配方为； ③整理成的形式． 2．一元二次方程 （1）一元二次方程的概念 只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整数方程叫作一元二次方程． （2）一元二次方程的一般形式为 (a，b，c为常数，且a≠0)，a，b，c依次称为方程的二次项系数，一次项系数，常数项. （3）方程的解与解方程 能够使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．求出方程的解或确定方程无解的过程，叫作解方程． 3．一元二次方程=0(a≠0)的解法 （1）配方法：用配方法解一元二次方程=0(a≠0)的一般步骤： ①化二次项系数为1； ②把常数项移项到等号的另一边； ③在等号的两边同加一次项系数一半的平方； ④写成完全平方的形式； ⑤开平方得结果． （2）求根公式法：求根公式为．其中 △=b2-4ac为根的判别式，确定方程解的情况如下： ①时，方程有两个不相等的实数根：x＝； ②时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝； ③时，原方程无解. （3）分解因式法：①提公因式；②十字相乘(竖分，叉乘，横写). 4.根与系数的关系(韦达定理) 已知x1，x2是一元二次方程=0(a≠0)的根，则x1+x2=-b/a，x1x2=c/a. 例1.解=0 答案： 解析： 变式训练1.-x2-x+6=0的解是_______. 答案：-3，2 解析：-x2-x+6=0，即x2+x-6=0，即（x+3）（x-2）=0，解得x=-3或2 例2.若，则m，n的值分别为 (　　) A．－4，－16 B．－4，16 C．4，－16 D．4，16 答案：-3，2 解析： 变式训练2.把写成的形式． 答案： 解析：=x2+2x+1-4= 例3.若方程x2+4x+1有两个实数根x1，x2，求x1+x2． 答案：4 解析：方程x2+4x+3的根为1，3，x1+x2=1+3=4. 变式训练3.方程x2－2ax＋b＝0有两根，分别是3，4.求a，b的值． 答案：a＝3.5，b＝12 解析：∵3，4是方程x2－2ax＋b＝0的两根，∴由根与系数的关系，得3＋4＝2a，3×4＝b.∴a＝3.5，b＝12. 知识点二：不等式的基本性质 1.实数大小的基本性质 （1）实数大小的性质 ①a－b＞0⇔a＞b； ②a－b＜0⇔a＜b； ③a－b＝0⇔a＝b． （2）作差比较法：一种常见的比较两个实数(或代数式)大小的方法， 一般步骤：①作差并化简(把差化成几个因式之积或几个完全平方式的和或常数的形式)；②变形；③判断；④得出结论． 2.不等式的基本性质 （1）加法法则 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，不等号的方向不变，即若a＞b，则a＋c＞b＋c. 推论：(移项法则)a＋b＞c，则a＞c－b. （2）乘法法则 ①不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若a＞b，c＞0，则ac＞bc. ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若a＞b，c＜0，则ac＜bc. 推论：若a＞0，b＞0，且a＞b⇒a2＞b2. （3）常用的不等式的性质 ①反身性：a＞b⇔b＜a. ②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. ③同向加法：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d. ④同向乘法：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. 推论：(乘方法则)a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N+且n＞1）. ⑤正数不等式的开方法则：若a>b>0，则＞(n∈N且n>1). ⑥取倒数法则：a>b，ab>0⇒（1/a）＜（1/b）. 例1.下列命题中正确的是 (　　) A．a>b⇒ac>bc B．a>b⇒ac2>bc2 C．ac2>bc2⇒a>b D．a>b，c>d⇒ac>bd 答案：C 解析：用特殊值法进行一一排除． 变式训练1.设a>b>0，则下列不等式一定成立的是 (　　) A．a>2b B．a2>2b C．ab>b2 D．ab