专题05 圆的方程（知识点大串讲）-【中职专用】高一下学期数学期末复习大串讲（高教版2021·基础模块下册）

专题05 圆的方程 知识结构 要点梳理 知识点一 圆 基本 要素 当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是 标准 方程 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是 图示 说明 若点M(x，y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在圆C上 知识点二 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d r (x0－a)2＋ (y0－b)2>r2 点在圆上 d r (x0－a)2＋ (y0－b)2＝r2 点在圆内 d r (x0－a)2＋ (y0－b)2<r2 知识点三 圆的一般方程 (1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为C ，半径为r＝ . (2)说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且仅当 时，表示圆：当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点 ；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形． 知识点四 用“待定系数法”求圆的方程的步骤： ①根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程． 题型探究 题型一 求圆的标准方程 例1　写出下列各圆的标准方程． (1)圆心在原点，半径长为2； (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为. 【归纳提升】　(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径； (2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程． 【变式】写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3； (2)圆心在点C(3,4)处，半径是； (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)处． 题型二　判断点与圆的位置关系 例2　已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？ 【归纳提升】　点与圆的位置关系的判断方法： (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较； (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上； ③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内． 【变式】若点(3，)在圆x2＋y2＝16的内部，则a的取值范围是(　 　) A．[0,7)　　　 B．(－∞，7) C．{7}　　　 D．(7，＋∞) 题型三　求圆的标准方程 例3　已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 【归纳提升】　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解． 【变式】圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为(　 　) A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0 B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0 C．x2＋y2＋4x－6y＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＝0 题型二　用待定系数法求圆的方程 例4　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程． 【归纳提升】　(1)由圆的标准方程和圆的一般方程可以看出方程都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆； (2)求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解 【变式】求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． 素养作业 1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为(　 　) A．1　　　 B． C．2　　　 D．4 2．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为(　 　) A．(x＋2)2＋(y－1)2