专题7 函数的单调性和奇偶性-【中职数学】备战中职高考一轮专题复习（全国适用）

专题7 函数的单调性和奇偶性 ( 任务驱动 ) 1. 掌握函数的单调性定义. 2. 会判定和证明函数的单调性. 3. 能利用函数的单调性解决简单问题. ( 要点点击 ) 1、 函数的单调性 1. 函数单调性的定义 对于给定区间A上的函数y=f(x)， （1）如果在给定区间A上自变量增加时，函数值也随着增大，即对任意,当时都有<，那么就说y=f(x)在A上是增函数. （2）如果在给定的区间A上自变量增加时，函数值反而随着减小，即对任意,当时都有>，那么就说y=f(x)在A上是减函数. 2.函数单调性判定的常用方法 （1）图像法：画出函数图像，通过观察判断函数的单调性. 常见函数的单调性： 一次函数，当k>0时在R上是增函数，当k<0时在R上是减函数. 二次函数+bx+c,当a>0时,在上是减函数，在[-上是增函数; 当a<0时在上是增函数，在[-上是减函数. 反比例函数，当k>0时在()和(0,)上是减函数; 当k<0时,在()和(0,)上是增函数. 指数函数 ()，当a>1时在R上是增函数，当0<a<1时在R上是减函数. 对数函数 ()当a>1时在R上是增函数，当0<a<1时在R上是减函数. （2）定义法 3.用定义法判定或证明函数的单调性的步骤 （1）取值(取指定区间内的任意两个值 ,使) （2）作差(作差并变形，可通过因式分解、配方、有理化进行变形) （3）判号(判断差的正负) （4）结论 二、函数的奇偶性 1.函数的奇偶性概念：设函数的定义域为数集D （1）奇函数：如果对于任何任意都有，并且f(-x)=- f(x),则称函数为奇函数;奇函数的图象关于坐标原点对称. （2）偶函数：如果对任意都有，并且f(-x)=f(x)则称为偶函数；偶函数图像关于Y轴对称. 2.函数奇偶性的条件 （1）函数f(x)是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称。函数f(x)是偶函数的充要条件是它的图像关于Y轴对称. （2）函数f(x)既是奇函数，又是偶函数的充要条件是f(x)=0 （3）两个函数相加（减）同奇则奇，同偶则偶，一奇一偶非奇偶 两个函数相乘（除）同则偶，异则奇。（即同奇同偶都是偶，一奇一偶则为奇） 3.常见函数的奇偶性 （1）一次函数为奇函数; （2）二次函数+bx+c为偶函数; （3）反比例函数为奇函数; （4）正弦函数是奇函数，余弦函数y=cosx是偶函数; （5）f(x)=a是偶函数，f(x)=0既是奇函数，又是偶函数; （6）函数f(x)，在R上的奇函数则有f(0)=0； 三、函数的周期性 1.对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当X取定义域内的每一个值时，f(x+T)= f(x)都成立，那么就把函数y等于f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期. 2.如果周期函数的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期. 四、对称性 一般的设点P（a,b）在平面内的任意一点，则 （1） 点P（a,b）关于X轴的对称点的坐标为（a,-b） （2） 点P（a,b）关于Y轴的对称点的坐标为（-a,b） （3） 点P（a,b）关于原点O的对称点的坐标为（-a,-b） ( 常考题型 ) 题型一：判断函数的单调性 例1．下列函数中，在区间上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 分析： 对于选项A：根据指数函数的单调性可知该函数在R上为单调减函数，故错误； 对于选项B：根据反比例函数的性质可知该函数在为单调递减函数，故错误； 对于选项C：根据对数函数的单调性可知该函数在为单调递增函数，故正确； 对于选项D：根据二次函数的性质可知该函数在不单调，故错误. 故选：C. 题型二：用定义判断单调性 例2．证明：函数是减函数. 证明： 任取，，且， 则 ∵ ∴，即 ∴ ∴函数是减函数. 题型三：判断函数的奇偶性 例3．给定函数：①；②；③；④.其中奇函数是（       ）. A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 分析： ①，令为奇函数. ②，令为偶函数. ③，令的定义域为，为奇函数. ④，令，所以为非奇非偶函数. 所以奇函数是①③. 故选：D 例4．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 分析：因为函数为R上的奇函数，当时，， 所以. 故选：C. 例5．下列函数是奇函数的是(       ) A． B． C． D． 分析： ，定义域为R关于原点对称，且，故该函数为偶函数，故A不符题意； ，定义域为[0，)不关于原点对称，∴该函数为非奇非偶函数，故B不符题意； ，定义域由－x＞0得(－，0)不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数，故C不符题意； ，定义域为R关于原点对称，且，故该函数为奇函数，故D符合题意﹒ 故选：D. 题型四：函数单