5.3 同角三角函数的基本关系式-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲+练）

5.3 同角三角函数的基本关系式 [知识整合] 基础知识 同角三角函数的基本关系式： 1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：tanα＝. 说明：(1)三角函数的两个基本关系式是三角变换的基础，其应用的前提是“同角”，同时这些关系式是在有意义的角的前提下才成立的． (2)同角三角函数的基本关系式的变形形式： sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝cosα·tanα. 基础训练 1．已知sinα＝，且α为第二象限的角，则cosα的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 2．已知tanα＝2，且α是第三象限的角，则sinα＝(　　) A．－ B．－ C. D. 3．已知cosα＝－，且角α是第二象限的角，则tanα＝____________． 4．已知sinα＝－，且α为第三象限角，则cosα＝____________，tanα＝____________． 5．已知cosα＝，且α为第四象限角，则sinα＝____________，tanα＝____________． [重难点突破] 考点1　同角三角函数的基本关系 例1　已知sinα＝，α是第二象限角，求tanα. 【解】　∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝，∴cosα＝±. 又∵α是第二象限角，即cosα＜0，∴cosα＝－，∴tanα＝＝＝－. 反思提炼： 此题属于常见的类型，已知角α的某一个三角函数值，求α的其它三角函数值，通常利用三角函数的基本关系来解，要注意对应的α的范围，否则容易出错． 【变式训练】　已知sinα＝，且α是第二象限的角，求cosα和tanα. 例2　(1)已知sinα＝，求tanα； (2)若tanθ＝(π<θ<)，求sinθ，cosθ. 【解】　(1)∵sinα＝>0，∴α为第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cosα＝＝，∴tanα＝； 当α为第二象限角时，cosα＝－＝－，∴tanα＝－. (2)由⇒5sin2θ＝1⇒sin2θ＝. 又∵π<θ<，∴sinθ<0，∴sinθ＝－，∴cosθ＝－. 反思提炼： 三角函数值的符号是由角所在的象限来确定的，当题目没有确定角的取值范围时，要分类讨论．另外，已知切求弦时，要结合平方关系和商数关系解方程组，最后根据角的范围得出最后的结果． 【变式训练】　1.已知sinα<0，cosα＝，求tanα. 2．已知tanα＝－3，α是第二象限角，求sinα. 考点2　运用三角公式进行简单三角函数的化简和求值 例3　化简：(1)； (2)，θ是第二象限角． 【解】　(1)＝＝＝cosθ； (2)＝＝＝|sinθcosθ| ∵θ是第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0，∴＝－sinθcosθ. 例4　已知tanα＝－3，求下列各式的值． (1)； (2)sinαcosα； (3). 【解】　(1)解法一：∵tanα＝＝－3，∴sinα＝－3cosα. ∴＝＝＝； 解法二：分子分母同时除以cosα，化简得＝＝＝. (2)解法一：由已知可得方程组 由①得sinα＝－3cosα，代入②得cos2α＝. ∴sinαcosα＝(－3cosα)cosα＝－3cos2α＝－. 解法二：sinαcosα＝＝＝＝＝－. 解法三：∵tanα＝＝－3，∴sinα＝－3cosα. ∴sinαcosα＝＝＝－. (3)解法一：将分子“1”代换为sin2α＋cos2α得： ＝＝＝＝＝. 解法二：∵tanα＝＝－3，∴sinα＝－3cosα. ∴＝＝＝＝. 反思提炼： 此种题型是已知角α的正切值求关于sinα与cosα的齐次式的值，其解法是将代数式的分子、分母同除以cosα或cos2α转化为含tanα，tan2α的关系式，以便于计算．或者利用关系式tanα＝，找出sinα与cosα的等量关系后代入到式子中，再约分化简． 【变式训练】　已知tanx＝，求下列各式的值： (1)；(2)sin2x－3cos2x. 例5　已知sinα＋cosα＝，求下列各式的值： (1)sinαcosα；(2)sin4α＋cos4α. 【解析】　(1)∵sinα＋cosα＝，将两边平方得：sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，即1＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝. (2)sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2(sinαcosα)2＝1－2×＝. 反思提炼： 已知条件是sinα与cosα的一次项的关系，而要求的式子是sinα与cosα的二次项的关系，要把已知和求解联系起来，常用的