5.2 任意角的三角函数-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲+练）

5.2 任意角的三角函数 [知识整合] 基础知识 1．任意角的三角函数的定义 设点P(x，y)是角α终边上任一点，P到原点的距离为r(r＞0)，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.其中r＝. 说明：三角函数是以角为自变量，比值为函数值的函数，只与角α的大小有关即与角的终边位置有关，而与点P在角α的终边上的位置无关． 2．各象限角的三角函数值的正负判断 三角函数在各象限的符号：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 或用“才”字来记忆：横是正弦，竖是余弦，撇是正切． 3．特殊角的三角函数值 α 0 π 2π sinα 0 1 0 －1 0 cosα 1 0 － － － －1 0 1 tanα 0 1 / － －1 － 0 / 0 基础训练 1．已知角α终边经过P，则cosα等于(　　) A. B. C. D．± 2．设角α终边与单位圆相交于点P(－，)，则sinα－cosα的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 3．如果sinα>0，则α是第__________或__________象限角，或是__________． 如果cosα<0，则α是第__________或__________象限角，或是__________． 4．设点P(－1，－)是角α终边上的任意一点，则sinα＝________；cosα＝________；tanα＝________． 5．sin＝__________；cos2π＝__________；tan0＝__________． [重难点突破] 考点1　任意角的三角函数的定义 例1　已知角α的终边经过点P(3，4)，求sinα，cosα和tanα. 【解】　因为角α的终边过点P(3，4)，即x＝3，y＝4，所以r＝＝5， 因此sinα＝＝；cosα＝＝；tanα＝＝. 【变式训练】　已知角α的终边经过点P(－12a，5a)(a∈R且a＞0)，求sinα，cosα，tanα. 例2　已知角α是第一象限角，并且终边在y＝x上，则sinα＝____________，cosα＝____________，tanα＝____________，α＝____________． 【解析】　设终边上一点P(x，x)(x＞0)，则P到原点O的距离r＝|OP|＝＝x， ∴sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝1，α＝＋2kπ，k∈Z. 反思提炼： 本题考查角的概念，可先在终边上取一点，将问题转化为已知终边上一点求三角函数值，并根据特殊角的三角函数值求角α的值． 【变式训练】　已知角α是第二象限角，并且终边在直线y＝－2x上，求sinα. 例3　设α是第二象限角，其终边上的一个点是P(－，y)，且cosα＝－，求sinα，tanα. 【解析】　因为α是第二象限角，所以y＞0，P点到坐标原点O的距离r＝＝. ∵cosα＝＝－，∴y＝.∴sinα＝＝，tanα＝＝＝－1. 反思提炼： 容易出错的地方是得到y2＝2后，不考虑P点所在的象限，分y取值的正、负两种情况去讨论，在解决此类问题时，可以先注意所在的象限，对最终结果作一个合理的预测． 【变式训练】　已知角α终边上一点P(x，1)，若tanα＝－3，则x的值是(　　) A．－ B．－3 C. D．3 考点2　各象限角的三角函数值的正负判断 例4　下列三角函数值中为负值的是(　　) A．sin B．cos(－90°) C．tan175° D．tan 【解析】　角终边在第一象限，sin>0；－90°终边在y轴负半轴上，cos(－90°)＝0；175°角在第二象限，tan175°<0；角终边在第一象限，tan>0.故选C. 反思提炼： 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号． 【变式训练】　判断下列各式的符号． (1)sin216°cos217°tan218°； (2)tan191°－cos191°； (3)sincostan. 考点3　特殊角的三角函数值 例5　已知α＝，β＝，则sinα－cosβ的值为____________． 【解析】　本题考查特殊角的三角函数值，将α、β的值分别代入即可． ∵α＝，β＝，∴sinα－cosβ＝sin－cos＝－＝. 反思提炼： 本题主要考查对基础知识的掌握，牢记特殊角的三角函数