4.2.2 对数函数-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲+练）

4.2.2 对数函数 [知识整合] 基础知识 1．对数函数的定义 一般地，形如y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的函数，我们称为对数函数． 2．对数函数的图像和性质 对数函数y＝logax(a>0，a≠1)在其底数a>1及0<a<1这两种情况下的图像和性质如下表所示： 图像 a>1 0<a<1 函数性质 (1)定义域(0，＋∞)；(2)值域R； (3)函数图像过定点(1，0)；(4)非奇非偶函数 (5)在(0，＋∞)上是增函数； (5)在(0，＋∞)上是减函数； (6)当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0； (6)当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0. 基础训练 1．已知函数f(x)＝3x－8－log2x，则f(8)＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．4 2．若a>1，则函数y＝loga(x＋3)的图像不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是____________． 4．函数y＝log0.3x的定义域为____________，值域为____________，在定义域上是____________函数． 5．设函数f(x)＝，则f[f(－2)]＝____________． [重难点突破] 考点1　对数函数的概念 例1　函数y＝的定义域是(　　) A．(－∞，2) B．(1，2) C．(1，2] D．(2，＋∞) 【解析】　函数y＝有意义，即⇒1<x<2，故选B. 反思提炼： 在对数函数中求定义域，首先要保证真数大于0，底数大于0且不等于1，然后再与其它限制条件结合． 【变式训练】　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝log(x－1)(3－x)　(2)f(x)＝ 例2　已知函数f(x)＝lg(x2－ax＋2)的定义域为全体实数，求a的范围． 【解】　∵x2－ax＋2>0，x∈R，即x2－ax＋2>0的解集是R. 令x2－ax＋2＝0，∴Δ＝a2－4×2<0，解得：－2<a<2. 考点2　对数函数的图像与性质 例3　已知y＝ax是R上的增函数，y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是(　　) 　　　　　　　　　 　　 　 　 A　　　　　　　 　 　B　　　　　　　　　　C　　　　　　　　D 【解析】　∵y＝ax是R上的增函数，∴a>1，1－a<0，∴对数函数y＝logax单调递增，图像是在第一、四象限的曲线，函数y＝(1－a)x单调递减，图像是过原点的直线，故选D. 【变式训练】　函数f(x)＝log2(x＋1)的图像是(　　) 　　　　　A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D 例4　已知函数f(x)＝|lgx|，比较f和f(5)的大小． 【解】　由f()＝|lg|＝|－lg15|＝|lg15|＝lg15，f(5)＝|lg5|＝lg5，∵y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，∴lg15>lg5，即f()>f(5)． 【变式训练】　设a＝log0.50.4，b＝0.50.4，则a，b的大小关系是(　　) A．a<b B．a＝b C．a>b D．不能确定 考点3　解对数方程和对数不等式 例5　方程log2(x＋1)＋log2(x－2)＝2的解是(　　) A．x＝－2 B．x＝3 C．x＝－2或x＝3 D．x＝－1或x＝2 【解析】　∵log2(x＋1)＋log2(x－2)＝log2(x＋1)(x－2)＝2＝log24，∴(x＋1)(x－2)＝4，解得x＝3或x＝－2，当x＝－2时，x－2＝－4<0，故x＝－2(舍去)，故选B. 【变式训练】　解方程lg(x2＋11x＋8)－lg(x＋1)＝1. 例6　解不等式：log(4x－1)>log(2x＋3)． 【解】　根据对数函数定义及单调性有：，即，所以解集为. 【变式训练】　不等式log2≥0的解集是(　　) A. B. C. D. 考点4　对数函数性质的综合应用 例7　设函数f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)． (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若f(a)>0，求实数a的取值范围． 【解】　(1)∵f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)＝lg， ∴函数的定义域为(－1，1)，定义域关于原点对称，