4.2.1 对数及其运算-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲+练）

4.2.1 对数及其运算 [知识整合] 基础知识 1．对数的概念 若ab＝N(a>0且a≠1)，则b叫作以a为底N的对数，即logaN＝b.其中a叫作底，N叫作真数． 常用对数：以10为底的对数叫作常用对数(如lg2)． 自然对数：以e为底的对数叫作自然对数(如ln3)． 2．对数的性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数为0，即loga1＝0； (3)底的对数为1，即logaa＝1. 3．对数恒等式 (1)logaaN＝N(a>0且a≠1)； (2)alogaN＝N(a>0且a≠1)． 4．对数的运算法则(a>0且a≠1，M>0，N>0) (1)logaM＋logaN＝loga(MN)； (2)logaM－logaN＝loga； (3)logaMn＝nlogaM. 5．换底公式 logab＝(a>0，c>0且a≠1，c≠1，b>0) 基础训练 1．下列计算正确的是(　　) A．(－1)－1＝1 B．lga＋lgb＝lg(a＋b) C．(－x5)÷(－x3)＝x2 D.＝a＋1 2．log93＝中，____________叫作对数的底，____________叫作真数． 3．指数式0.3x＝0.09写成对数式为____________． 4．(1)log21＝____________；(2)log22＝____________；(3)log53＋log5＝____________； (4)log9＝____________；(5)lg0.01＝____________；(6)lne2＝____________； (7)lg2＋lg5＝____________；(8)log26－log23＝____________；(9)＝____________； (10)log335＝____________． 5．若logx8＝，则x＝____________． [重难点突破] 考点1　对数的概念 例1　将下列等式互化． (1)2－3＝；　(2)log464＝3. 【解】　(1)将指数化为对数式log2＝－3； (2)将对数化为指数式43＝64. 【变式训练】　将下列等式互化：(1)52＝25　(2)log93＝ 考点2　对数运算 例2　log31＋log3的值为____________． 【解析】　log31＋log3＝0－1＝－1. 【变式训练】　下列运算不正确的是(　　) A．log210－log25＝1 B．log210＋log25＝log215 C．20＝1 D．210÷28＝4 例3　求下列各式的值： (1)log2； (2)(lg5)2＋lg4·lg5＋(lg2)2. 【解】　(1)log2(log216－log2＋log210)＝log2(log2)＝log2(log2256)＝log28＝3； (2)(lg5)2＋lg4·lg5＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2·lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1. 【变式训练】　计算：(1)； (2)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2. 例4　已知52－x＝1，求的值． 【解】　∵52－x＝1＝50，∴2－x＝0，x＝2， ∴＝＝＝＝. 【变式训练】　已知＝－，求42＋log2x. 例5　(1)设2a＝3b＝36，求＋； (2)已知log189＝a，18b＝5，求log4536. 【解】　(1)由2a＝36得a＝log236，＝＝log362，同理由3b＝36，得＝log363， 所以＋＝log362＋log363＝log366＝. (2)由18b＝5得log185＝b， 所以log4536＝＝＝＝＝. 反思提炼： (1)指数形式与对数形式的互化关系是解决有关指数、对数问题的有效工具，本题思路不是很明确，我们不妨巧设中间变量，利用上述转化关系，采用解方程的方法去解决． (2)已知条件中，对数与指数的底都是18，对于要求的log4536，可以利用换底公式换成以18为底的对数的商，再进行化简． 【变式训练】　1.设x＝log2m，y＝log2n，其中m，n是正实数，则mn＝(　　) A．2x＋y B．2xy C．2x－y D．2x＋2y 2．已知log147＝a，14b＝5，求log2835. [课堂训练] 1．若log2＝m(m>0)，则logm4的值是(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 2．计算：log23·log98＝(　　) A. B. C．3 D．2 3．设log24·log42·log416＝log4n