4.1.2 指数函数-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲+练）

4.1.2 指数函数 [知识整合] 基础知识 1．指数函数的定义 函数y＝ax(a>0且a≠1)叫作指数函数． 2．指数函数的图像和性质 底数 a>1 0＜a＜1 图像 性质 (1)定义域为R；(2)值域为(0，＋∞)； (3)函数的图像都过定点(0，1)；(4)都是非奇非偶函数 (5)在R上是增函数 (5)在R上是减函数 (6)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (6)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 基础训练 1．下列函数中指数函数的个数是(　　) ①y＝3·2x；②y＝2x－1；③y＝4x；④y＝x2. A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列函数在其定义域内单调递增的是(　　) A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝()x D．y＝x2 3．函数y＝5x与y＝5－x的图像之间的关系是(　　) A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 4．函数y＝5－x在R上是____________函数． 5．函数y＝的定义域为____________． [重难点突破] 考点1　指数函数的概念 例1　判断下列函数中，是指数函数的为(　　) A．f(x)＝4x B．f(x)＝4x＋3 C．f(x)＝－4x D．f(x)＝(－4)x 【解析】　只有A中满足y＝ax(a>0且a≠1)．故选A. 例2　已知指数函数f(x)＝ax的图像过点(2，)，则a的值为(　　) A．± B. C．± D. 【解析】　把点(2，)代入函数得＝a2，解得a＝±，因为a＞0，所以a＝.故选D. 【变式训练】　若指数函数f(x)＝ax，且f(2)＝16，则a＝____________． 考点2　指数函数的图像与性质 例3　函数y＝2的图像大致是(　　) 　　　　　　　　　 　　　　　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　D 【解析】　∵y＝2＝()x，＞1，∴由指数函数图像可知C正确，故选C. 【变式训练】　某函数的大致的图像如图所示，则该函数可能是(　　) A．y＝3－x B．y＝3x C．y＝－3x D．y＝－3－x 例4　求函数f(x)＝log2(8－2x2－2x)的定义域． 【解】　由题意得：8－2x2－2x>0，2x2＋2x<23，∴x2＋x<4，即x2＋x－4<0， ∴<x<，∴函数定义域为(，)． 【变式训练】　1.函数y＝的定义域是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] 2．函数y＝的定义域____________． 例5　画出函数f(x)＝2|x|的图像并写出单调区间． 【解】　f(x)＝2|x|＝ 可以看出图像是关于y轴对称的，单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． 【变式训练】　比较0.35.1，1，0.3－5.1三个数的大小． 例6　(1)试判断函数y＝(a2－a＋2)x的单调性； (2)若(a2－1)＜(a2－1)，求a的取值范围． 【解】　(1)∵a2－a＋2＝a2－a＋＋＝2＋>1，∴函数y＝(a2－a＋2)x为单调递增函数． (2)由已知(a2－1)＜(a2－1)且>得y＝(a2－1)x为单调递减函数， ∴0＜a2－1＜1，∴1＜a2＜2，解得－＜a＜－1或1＜a＜， 因此a的取值范围是(－，－1)∪(1，)． 反思提炼： (1)这是一个指数函数，要判断其单调性，需先考虑底的范围，若底大于1，则为增函数，若底在0与1之间，则为减函数． (2)这是一个同底的指数幂比较大小的问题，由于>，因此当a<a时，一定有a∈(0，1)． 考点3　解指数方程和指数不等式 例7　解方程4x－2x＋3＝2x－3－1. 【解】　设2x＝t>0，将方程化为t2－8t＝t－1，即(t－8)(t－)＝0， 解得t＝8或t＝.即2x＝8或2x＝，∴x＝3或x＝－3. 【变式训练】　解方程52x－6×5x＋5＝0. 例8　已知32x－1<1，则x的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，) D．(，＋∞) 【解析】　由32x－1<1＝30得2x－1<0，x<，故选C. 【变式训练】　设函数f(x)＝3x，不等式f(x－6)>3的解集是(　　) A．(7，＋∞) B．(－∞，7) C．(9，＋∞) D．(2