1.2 充要条件-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲+练）

1.2 充要条件 [知识整合] 基础知识 1．推出 当“如果p，那么q”是正确命题时，我们就说p可以推出q，记作p⇒q，读作p推出q. 2．充分条件、必要条件 “A⇒B”通常还可表述为“A是B的充分条件”，此时“B是A的必要条件”． 注明： (1)“A⇒B”，(2)“A是B的充分条件”，(3)“B是A的必要条件”．这三个命题是等价的，即这三句话的含义是相同的． 3．充要条件 如果A⇒B(A是B的充分条件)，B⇒A(B又是A的充分条件)，则称A是B的充要条件，记作A⇔B，读作A与B等价或A与B互为充要条件． 4．子集与推出的关系 对于集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：如果A⊆B，那么p⇒q；反之，如果p⇒q，那么A⊆B.即A⊆B与p⇒q等价．如果A＝B，那么p⇔q；反之，如果p⇔q，那么A＝B.即A＝B与p⇔q等价． 基础训练 1．“|x|＝6”是“x＝6”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“a是实数”是“a是有理数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设A和B是两个集合，则“B中的元素都在A中”是“A＝B”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．设a，b，c均为实数，则“a>b”是“ac2>bc2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．填空题(填“⇒”、“⇐”或“⇔”) (1)“x＝1”________“x2－1＝0”； (2)“a是自然数”________“a是整数”； (3)“△ABC是直角三角形”________“△ABC有一个角是90°”． [重难点突破] 考点　充分、必要、充要条件 例1　已知a，b，c∈R，则“ac＝b2”是“a，b，c成等比数列”的(　　) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要而不充分条件 D．充分而不必要条件 【解析】　∵a，b，c成等比数列，∴ac＝b2，反之，若ac＝b2＝0，则a，b，c一定不成等比数列，故选C. 【变式训练】　“a＋c＝2b”是“a，b，c成等差数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2　“|x|≤2”是“－2≤x≤2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　∵|x|≤2⇔－2≤x≤2，∴“|x|≤2”是“－2≤x≤2”的充要条件，故选C. 反思提炼： 解决不等式的问题，一般可画出数轴，然后采用集合的包含关系来确定充要条件． 【变式训练】　“x<2”是x2－x－2<0的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例3　“ab＝0”的充要条件是(　　) A．a＝0 B．b＝0 C．a＝0且b＝0 D．a＝0或b＝0 【解析】　ab＝0⇔a＝0或b＝0，故选择D. 【变式训练】　设a，b为实数，则“b＝3”是“a(b－3)＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4　“a＝3”是“x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　“a＝3”⇒Δ＞0所以“a＝3”是“x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根”的充分条件，反之不一定成立，故选A. 【变式训练】　在△ABC中，“sinA＝”是“A＝30°”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5　已知p是q的必要条件，s是r的充分条件，p是s的充要条件，则q是r的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　∵p⇐q，s⇒r，p⇔s，∴q⇒r.即q是r的充分不必要条件．故选A. 反思提炼： 解决此类问题的关键是借助“⇒、⇔”等符号直观地表述命题之间的逻辑关系． 【变式训练】　已知p是q的充要条件，p是s的必