广东省兴宁市第一中学2021-2022学年高一下学期6月月考数学试题

1 兴宁一中高一年级下期月考数学试题 2022 年 6 月 一、二、选择题：每小题 5 分，共 60 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D B C A B A C BD AD BC ACD 三、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13． 7 14．4.5 15． 2 3 16． 6π 四、解答题：第 17 题 10 分，其余各小题每题 12 分，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤 17．解：（1）因为向量� → = (1，2)，� → = ( − 3，�)，且� → ∥ � → ， 所以 1×k﹣2×（﹣3）＝0，解得 k＝﹣6， 所以|� → | = ( − 3)2 + ( − 6)2 = 3 5． ...........5分 （2）因为� → + 2� → = ( − 5，2 + 2�)，且� ⊥ (� → + 2� → )， 所以 1×（﹣5）+2×（2+2k）＝0，解得� = 14， ...........10分 18．解：（Ⅰ）由正弦定理及 2����� + 3� = 3�，得 2�������� + 3���� = 2����， ∴2�������� + 3���� = 2���(� + �) = 2�������� + 2��������， ∴����( 3 − 2����) = 0，∵B∈（0，π），∴sinB≠0， ∴���� = 32 ，又 C∈（0，π），∴� = � 6． ...........6分 （Ⅱ）由（1）知，� = �6， 由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcosC， ∴4＝a2+b2﹣2ab• 3 2 ，整理得�2 + �2 − 3�� = 4， ∵a2+b2≥2ab，∴2�� − 3�� ≤ 4， ∴�� ≤ 8 + 4 3，当且仅当 a＝b时取等号， ∴�△��� = 1 2 ������ = 1 2 × 1 2 �� ≤ 1 4 × (8 + 4 3) = 2 + 3， 故△ABC面积的最大值为 2 + 3． ...........12分 2 19．（Ⅰ）证明：∵点 M，N分别为线段 PB，PC的中点， ∴MN∥BC，又四边形 ABCD为正方形，∴BC∥AD， ∴MN∥AD．又 AD⊂平面 PAD，MN⊄平面 PAD， ∴MN∥平面 PAD； ...........6分 （Ⅱ）解：∵PA＝AB＝2，四边形 ABCD为正方形， ∴�△��� = 1 2 × 2 × 2 = 2， ∵PA⊥平面 ABCD，N为线段 PC的中点． ∴点 N到平面 ACD的距离� = ��2 = 1． ∴��−��� = ��−��� = 1 3 ��△��� = 1 3 × 1 × 2 = 2 3． ...........12分 20．（1）根据竞赛成绩落在 80～100之间频率和为 1可得：（a+2a+5a+9a+8a）×4＝1， 解得 a＝0.01．...........3分 根据频率分布直方图可得成绩落在[80，92）的学生人数为 （0.01+0.02+0.05）×4×50＝16； ...........6分 （2）根据频率分布直方图可得成绩落在[80，84）和[84，88）的人数分别为．0.04×50＝2和 0.08 ×50＝4． 在[80，84）和[84，88）的人分别记作 x、y和 a、b、c、d， 从中随机选出 2人的所有情况为：（x，y），（x，a），（x，b），（x，c），（x，d），（y，a）， （y，b），（y，c），（y，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共 15种． ∴至少有一人成绩在[84，88）的概率为 14 15 ．...........12分 21．（1）证明：因为 CD＝3AB＝3，CE＝1，所以 AB＝EC＝1，DE＝SE＝2， 又因为 AB∥CD，所以 ABCE为平行四边形， 又 AB⊥BC，所以 ABCE为矩形， 则 AE⊥DC，故 AE⊥SE， 又平面 SAE⊥平面 ABCE，平面 SAE∩平面 ABCE＝AE，SE⊂平面 SAE， 所以 SE⊥平面 ABCE； ..........6分 3 （2）解：在平面 ABCE内，过 E作 EP⊥AC，垂足为 P，连结 SP， 由（1）可知，SE⊥平面 ABCE，又 AC⊂平面 ABCE，所以 SE⊥AC， 因为 EP⊥AC，且 EP，SE⊂平面 AEP，EP∩SE＝E，则 AC⊥平面 SPE， 又 SP⊂平面 SEP，所以 AC⊥SP，又因为 EP⊥AC， 则∠SPE即为二面角 S﹣AC﹣E的平面角， 由（1）可知，AE⊥AC，AE＝BC= 3，EC＝1，又 EP⊥AC， 所以�△��� = 1 2 ⋅ �� ⋅ �� = 1