1.2.2 充分条件和必要条件-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（湘教版）

1.2　常用逻辑用语 1.2.2　充分条件和必要条件 第1章　集合与逻辑 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系． 教学重点：掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性． 教学难点：判断条件与结论之间的充要性． 核心素养：1.通过充要条件的判断提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用培养数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 充分条件 必要条件 充分 必要 判定 性质 充分必要条件 充要条件 3．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． √ √ √ × √ 2．做一做 (1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_____________________________． (2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) (3)如果不等式x≤m成立的充分而不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________. x＝1或x＝2 充要 2 2 核心素养形成 PART TWO 例1　判断下列说法中，p是q的充分条件的是________. ①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”； ②设a，b是实数，p：“a＋b>0 ”，q：“ab>0 ”； ③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0. [解析]　①当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件； ②由a＋b>0不能推出ab>0，故p不是q的充分条件； ③因为a>b>1⇒a2>b2>0，所以p是q的充分条件． [答案]　①③ 答案 解析 题型一 充分条件、必要条件的判断 充分条件的两种判定方法 (1)定义法 ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件． (2)命题判断法 ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． [跟踪训练1]　设A，B是两个集合，判断“A∩B＝A”是“A⊆B”的什么条件． 解　由题意，得A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充分条件，也是必要条件． 解 例2　在下列各题中，q是p的必要条件吗？为什么？ (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根． [解]　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0， ∴q是p的必要条件． (2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等， ∴q不是p的必要条件． 解 解 必要条件的判定方法 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论． (2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围． (3)传递法：若p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件． 解　(1)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0， ∴q是p的必要条件． ∵a＋b＝0推不出a2＋b2＝0， ∴p不是q的必要条件． 解 解 例3　下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0； (3)a，b∈R，p：ab>0，q：|a＋b|＝|a|＋|b|. 解 题型二 充要条件的判断 [题型探究]　已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问： (1)p是r的什么条件？ (2)s是q的什么条件？ (3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？ 解　作出“⇒”图，如右下图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r. (1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知， ∴p是r的充分条件． (2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件． (3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q. 解 从命题角度判断p是q的充要条件 (1)原理：判断p是q的充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立． (2)方法 ①若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件； ③若二者都成立，则p与q互为充要条件． [