阶段测评(一) 空间向量的概念及其运算（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

阶段测评(一)　空间向量的概念及其运算 [对应学生用书P92] (时间：60分钟　满分：75分) 一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　) A．(0，3，－6)　　　　　 B．(0，6，－20) C．(0，6，－6) D．(6，6，－6) B　[由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20).] 2．若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当||取最小值时，x的值等于(　　) A．19 B．－ C． D． C　[＝(1－x，2x－3，－3x＋3)， 则||＝ ＝＝ ， 故当x＝时，||取最小值．] 3．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x＝(　　) A．3 B．－3 C．－11 D．3或－11 A　[因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为， 所以＝，解得x＝3或－11(舍去).] 4．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．　　　　D． C　[||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2.∴||＝.] 二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．) 5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列式子的计算结果为－a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· ABC　[2·＝－a2，A符合；2·＝－a2，B符合； 2·＝－a2，C符合；2·＝－a2，D不符合．] 6．如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则下列说法正确的是(　　) A．AA1⊥BD B．||＝ C．异面直线AC1与A1D所成角的余弦值是 D．异面直线AC1与A1D所成角的余弦值是 ABD　[设＝a，＝b，＝c，则＝b－a， ∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0， ∴⊥，即AA1⊥BD.选项A正确． 又|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1， 且， ∴||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝.选项B正确． 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝.∵＝a＋b＋c，＝b－c， ∴＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， ||＝ ＝ ＝＝. ∴cos θ＝＝＝.选项D正确． ∴ABD正确．] 三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中的横线上．) 7．(多空题)若a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则|2a－3b|＝____________，(2a－3b)·(a＋2b)＝__________． 　－200　[∵2a－3b＝2(4，－2，－4)－3(6，－3，2)＝(－10，5，－14)，a＋2b＝(4，－2，－4)＋2(6，－3，2)＝(16，－8，0)，∴|2a－3b|＝＝，(2a－3b)·(a＋2b)＝－10×16＋5×(－8)－14×0＝－200.] 8．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________. －－＋　[＝－ ＝＋－ ＝＋－(＋) ＝＋－－－ ＝－－＋.] 四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．(10分)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. 求BD1与夹角的余弦值． 解　设＝a，＝b，AA1＝c，则＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 即与夹角的余弦值为. 10．(12分)(2020·河北廊坊市高二期中)在①(＋)⊥(－)，②||＝，③0<cos 〈，〉<1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中． 问题：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D­xyz.已知点D1的