单元素养强化(一) 空间向量与立体几何（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

单元素养强化(一)　空间向量与立体几何 [对应学生用书P130] 1．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A．＝－＋　　 B．＝－ C．＝＋ D．＝－ A　[＝＋＝＋＝＋(－) ＝－＝－＋.] 2．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　) A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 B　[∵＋＋＝1，∴点P，A，B，C四点共面．] 3．已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥ D　[在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥.] 4．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． D　[∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1，2)， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝. 又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.] 5．(多选题)(2019·江苏徐州高二期末)下列命题中正确的是(　　) A．A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则A，B，M，N四点共面 B．已知{a，b，c}为空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的基底 C．若直线l的方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的法向量为n＝(－2，0，)，则直线l∥α D．若直线l的方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的法向量为n＝(－2，0，2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为 ABD　[对于A，A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则，，共面，则A，B，M，N四点共面，故A对； 对于B，已知为空间的一个基底，则a，b，c不共面，若m＝a＋c，则a，b，m也不共面，则也是空间的基底，故B对； 对于C，因为e·n＝1×(－2)＋0×0＋3×＝0，则e⊥n，若l⊄α，则l∥α，但选项中没有条件l⊄α，有可能会出现l⊂α，故C错； 对于D，∵cos 〈e，n〉＝＝＝，则直线l与平面α所成角的正弦值为，故D对．故选A、B、D.] 6．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(　　 ) A． B． C． D． A　[∵AB＝1，AC＝2，BC＝， AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC. ∵三棱柱为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC. 以B为原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz，则A(0，1，0)，C(，0，0).设B1(0，0，a)，则C1(，0，a)， ∴D，E， ∴＝，平面BB1C1C的法向量＝(0，1，0). 设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈，〉|＝，∴α＝.] 7．(多选题)(2020·福建福州高二期末)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．A1C1∥平面CEF B．B1D⊥平面CEF D．点D与点B1到平面CEF的距离相等 AC　[对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点， 故EF∥A1C1，又A1C1⊄平面CEF，故A1C1∥平面CEF成立． 对B，建立如图空间直角坐标系， 设正方体ABCD­A1B1C1D1边长为2 ＝0－1＋4＝3≠0. 又CF⊂平面CEF.故B1D⊥平面CEF不成立． ＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2). 对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等则点D与点B1中点O在平面CEF上． 连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF. 又点D与点B1中点O在平面A1ACC1上，故点O不在平面CEF上．故D不成立．故选A、C.] 8．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和点Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________． 或　[由OP⊥OQ，得·＝0. 即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0. ∴cos x＝0或cos x＝. ∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.] 9．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________． 　[取AB，AD，AA1所