专题11 立体几何计算：求体积归类-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题11 立体几何大题计算：求体积归类 目录 一、热点题型归类 1 【题型一】 体积1：常规型（直接法） 1 【题型二】 体积2：体积转化（等体积型，夹缝体积型） 6 【题型三】 体积3：多面体型（切割与补形） 10 【题型四】 体积4：异形体积比 15 【题型五】 体积应用1：点到面的距离 19 【题型六】 体积应用2：最值（难点） 22 【题型七】 体积应用3：翻折型 29 【题型八】 体积综合型 33 二、最新模考题组练 38 【题型一】 体积1：常规型（直接法） 【例1】如图，在圆锥中，，，为底面圆上的三个点，，且，． (1)证明：平面． (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设线段上靠近的三等分点为，连接，，再结合条件证明四边形为平行四边形，分析求解即可；（2）作于点，则为的中点，再求出梯形的面积，由圆锥性质得到平面的距离为，再利用公式求解即可. (1) 如图，设线段上靠近的三等分点为，连接，． 因为，所以，所以，且， 因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面，平面，所以平面． (2) 作于点，则为的中点，所以， 所以梯形的面积为， 因为，所以到平面的距离为， 所以四棱锥的体积为． 【例2】已知正三棱柱中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用线面角的定义可求得的长，分析可知点到平面的距离等于点到平面的距离，可得出，结合锥体的体积公式可求得结果. (1) 证明：连接交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，，则为的中点， 因为为的中点，则， 平面，平面，故平面. (2) 解：因为平面，与平面所成的角为， 因为是边长为的等边三角形，则， 平面，平面，，则， 所以，， 平面，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为为的中点，则， 则. 【例3】已知四棱锥的底面是菱形，平面，，，F，G分别为，中点，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：与不垂直. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）连接，，证明平面，平面后由面面平行的判定定理得证； （2）由体积公式变换，然后计算可得； （3）假设，由线面垂直的判定定理得线面垂直，然后又得线线垂直，得出矛盾，从而可得结论． (1) 证明：如图，连接，， ∵O是中点，F是中点，∴， 平面，平面，则平面. ∵O是中点，G是中点，∴， 平面，平面，则平面. 又，，平面， ∴平面平面，又平面， 则平面. (2) 证明：∵底面，底面，∴， 又四边形为菱形，∴， 又，、平面， ∴平面，且， 而F为的中点， ∴； (3) 证明：假设， ∵底面，底面，∴， 且，，平面， ∴平面，而平面， 则，与矛盾. ∴假设错误，故与不垂直. 【例4】在如图所示的几何体中，底面四边形ABEF为等腰梯形，，侧面四边形ABCD是矩形，且平面ABCD⊥平面ABEF，．BC＝BE＝2． (1)求证：AF⊥平面BCE； (2)求三棱锥A－CEF的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点为，连接，证明平面，原题即得证； （2）利用计算即得解. (1) 证明：取的中点为，连接 ∵，， 因为平面平面 平面平面, 平 面,所以平面, 平面所以平面. 平面 (2) 解： 【题型二】 体积2：体积转化（等体积型，夹缝体积型）（重点） 授课时归纳基本变化型 1. 等体积转化，多为三棱锥 2. 点转化型：（1）同底等高：平行线转化：（2）同底不等高：比列线段转化；（3）“夹缝型” 【例1】如图所示，在正方体中，为中点. (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，即可得到，从而得证； （2）根据正方体的性质及计算可得； (1) 证明：连接BD交AC于O，连接OE，所以OE是的中位线， 所以， 又面，面，所以平面； (2) 解：正方体中，平面， 所以； 【例2】如图，在棱长为2的正方体中，设是的中点. (1)过点，且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图中画出这个三角形（说明画法，不用说明理由）； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据面面平行的性质作图即可； （2）根据三棱锥的体积比可得再计算即可. (1) 取的中点，连接，，易知为所作三角形. (2) 因为且，四边形为平行四边形. ， 故四棱锥的体积为. 【例3】