2.4.1 函数的奇偶性-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（北师大版）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．1　函数的奇偶性 第二章　函数 课程标准：1.了解奇偶性的含义.2.了解奇偶函数的图象特征.3.会判断简单函数的奇偶性． 教学重点：1.函数奇偶性的含义.2.奇函数，偶函数的几何特征.3.判断函数的奇偶性． 教学难点：1.函数奇偶性的判定.2.函数的奇偶性与单调性的综合问题. 1 核心概念掌握 PART ONE f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 奇偶 原点 原点 y轴 理解函数奇偶性的注意点 (1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. (2)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空实数集． (3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相同； 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相反． (4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇(偶)函数的定义域都关于原点对称．(　　) (2)函数f(x)＝x2的图象关于原点对称．(　　) (3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数．(　　) (4)对于奇函数f(x)，一定有f(0)＝0.(　　) (5)对于函数y＝f(x)，x∈R，若存在x0∈R，使f(－x0)≠f(x0)，则该函数不是偶函数．(　　) √ × × × √ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)＝x在定义域R上是________函数(填“奇”或“偶”)． (2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2)＝4，则f(－2)＝_______. (3)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________. 奇 4 －5 2 核心素养形成 PART TWO 题型一　函数奇偶性的判断 [解]　(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)， 即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)， 所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数． (3)函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数． 解 解 函数奇偶性的判断方法 (1)定义法 (2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中． (3)设函数f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，在它们的公共定义域上，有如下结论： f(x) 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 g(x) 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 f(x)＋g(x) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 f(x)－g(x) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 f(x)g(x) 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 解　(1)显然函数f(x)的定义域关于原点对称． 当x>0时， －x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当x<0时， －x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (2)由于f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)， ∴f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数． 解 (3)函数f(x)＝2x＋1的定义域为R，关于原点对称． ∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1， ∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴f(x)＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数． (4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性. 解 例2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数f(x)<0的x的取值集合为________. [解析]　因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由函数f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． [答案]　(－2,0)∪(2,5) 答案 解析 题型二　奇偶函数的图象及应用 解　由例2图象知f(－1)＜0，f(－3)＞0，故f(－1)＜f(－3)． 解 [结