专题03 直线的方程（知识点大串讲）-【中职专用】高一下学期数学期末复习大串讲（高教版2021·基础模块下册）

专题03 直线的方程 知识结构 要点梳理 知识点一 倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向__上__方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角． 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__0°__. 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1) 用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__倾斜程度__ (2) 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__倾斜角__，二者缺一不可 知识点二 斜率(倾斜角为α) 定义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在 记法 斜率k＝tanα 范围 __R__ 公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率为k＝____ 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 知识点三 直线的点斜式方程 (1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程__y－y0＝k(x－x0)__叫做直线l的点斜式方程． (2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为__x＝x0__． 知识点四 直线的斜截式方程 (1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__y＝kx＋b__叫做直线l的斜截式方程． (2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的__截距__.倾斜角是__90°__的直线没有斜截式方程． 强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”． (2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距． 知识点五 直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程__Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同时为0)叫做直线的__一般式方程__，简称一般式． 思考1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：都可以，原因如下： (1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程． (2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0. 题型探究 题型一 直线的倾斜角 例1　给出下列命题： ①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线构成的集合建立了一一映射关系． 正确命题的个数(　A　) A．1个　　 B．2个 C．3个　　 D．4个 【解析】　由倾斜角α∈[0°，180°)知②错；又平行于x轴的直线的倾斜角是0°， 这样的直线有无数条，故③④错；只有①是正确的． 【变式】一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　D　) A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 【解析】　解答本题可先借助直观图形，再利用倾斜角的定义求解．如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α，故选D． 题型二　已知两点坐标求倾斜角和斜率 例题2 已知坐标平面内三点A(－1,1)、B(1,1)、C(2，＋1). 求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角； 【思路分析】利用k＝及k＝tanα求解； 【解析】　(1)由斜率公式得kAB＝＝0.kBC＝＝.kAC＝＝. 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°. ∵tan60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°.又∵tan30°＝，∴直线AC的倾斜角为30°. 【归纳提升】　 (1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围． 【变式】求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． (1)(－3,0)、(－2，)；(2)(1，－2)、(5，－2)；(3)(3,4)、(－2,9)；(4)(3,0)、(3，)． 【解析】　(1)直线的斜率k＝＝＝tan60°，此直线的斜率为，倾斜角为60°. (2)直线的斜率k＝＝0，此直