专题02 对数与对数函数（知识点大串讲）-【中职专用】高一下学期数学期末复习大串讲（高教版2021·基础模块下册）

专题02 对数与对数函数 知识结构 要点梳理 知识点一 对数的概念 1.若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__底数 __，N叫做_真数 __，记作x＝logaN． 2．常用对数和自然对数 (1)常用对数：通常我们将以_ 10 _为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lgN _. (2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__ lnN _. 知识点二 对数与指数的关系 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝__ logaN __. 知识点三 对数的基本性质 (1)_ 负数_ __和__ 0 __没有对数． (2)loga1＝_ 0 __(a＞0，且a≠1)． (3)logaa＝__ 1 __(a＞0，且a≠1)． 知识点四 对数的运算性质 条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 性质 loga(MN)＝logaM＋logaN loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 知识点五 换底公式 若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝． 知识点六 对数函数 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 知识点七 对数函数的图象及性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域(0，＋∞)，值域(-∞，＋∞) 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0 当x>1时，y<0 题型探究 题型一 对数定义与性质的应用 例1 求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0；　　　(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1；(4)lg(lnx)＝0. 【思路分析】　利用指数式与对数式的互化进行解答． 【解析】　(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2； (2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343； (3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10； (4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e. 【归纳提升】　对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 【变式】求下列各式中x的值： (1)x＝16；　　　　(2)log8x＝－； (3)log2(log4x)＝0；　　　　 【解析】　(1)∵x＝16，∴()x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4. (2)∵log8x＝－，∴x＝8－＝＝. (3)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4. 题型二 对数的运算性质的应用 例2 用logax，logay，logaz表示： (1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga. [解析]　(1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay. (2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay. (3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)] ＝(logax－logay－2logaz)． [归纳提升]　对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制． 【变式】 用logax、logay、logaz表示下列各式： (1)loga(x3y5)；　(2)loga. [解析]　(1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5 ＝3logax＋5logay. (2)loga＝loga－loga(yz) ＝logax－(logay＋logaz) ＝logax－logay－logaz. 题型三　利用对数的运算性质化简、求值 例3　(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (2)log535－2log5＋log57－log51.8. [分析]　熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案． [解析]　(1)原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2 ＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2 ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2 ＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1. (2)原式＝log5(5×7)－