第1章 3 等式性质与不等式性质（配套word）-2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

第3节　等式性质与不等式性质 高考要求 考向预测 1．梳理等式的性质． 2．理解不等式的概念，掌握不等式的性质 1．命题趋势：以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、解析几何、实际问题等相结合进行综合命题． 2．核心素养：逻辑推理． [对应学生用书P10] 1．实数大小与运算性质之间的关系 a－b＞0⇔__a＞b__；a－b＝0⇔__a＝b__；a－b＜0⇔__a＜b__ . 2．等式的性质 (1)对称性：若a＝b，则__b＝a__ . (2)传递性：若a＝b，b＝c，则__a＝c__ . (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝__b＋c__ . (4)可乘性：若a＝b，则__ac＝bc__；若a＝b，c＝d，则__ac＝bd__ . 3．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b__＜__a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇔a__＞__c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c__＞__b＋c； a＞b，c＞d⇒a＋c__＞__b＋d. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac__＞__bc； a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac__＞__bd. (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an__＞__bn(n∈N，n≥1). (6)可开方性：a＞b＞0⇒__＞__(n∈N，n≥2). 1．倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 2．有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　) (2)若＞1，则a＞b.(　　) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　) (5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞.(　　) (6)若ab＜0，a＞b⇔＞.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＞N　　　　　　　　 B．M＝N C．M＜N D．与x有关 答案　A 3．(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A．－＞0 B．－＜0 C．＞ D．＜ 解析　因为c＜d＜0，所以0＜－d＜－c，又0＜b＜a， 所以－bd＜－ac，即bd＞ac， 又因为cd＞0，所以＞，即＞. 答案　D 4．(活用结论)下列命题中，正确的序号是________ . (1)若b＞a＞0，则＞； (2)若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d； (3)若ab＞0，a＞b，则＜. 解析　(1)中，由分数性质知(1)正确； (2)中，因为a＞b，(－c)＜(－d)，不满足不等式的同向相加性，故(2)不正确； (3)中，因为ab＞0，所以a，b同号，所以当a＞b时，＜，故(3)正确． 答案　(1)(3) 5．已知1＜a＜4，2＜b＜8，则的取值范围为________ . 解析　因为1＜a＜4，2＜b＜8，又因为＜＜， 所以＜＜＝2，即＜＜2. 答案　 [对应学生用书P11] 考点1　比较两个数(式)的大小(题组练透) 1．已知a1，a2∈(0，1)，若M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N　　　　　　　 B．M＞N C．M＝N D．不确定 解析　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1). ∵a1∈(0，1)，a2∈(0，1)， ∴a1－1＜0，a2－1＜0. ∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0. ∴M＞N. 答案　B 2．已知a＞b＞0，m＞0，则(　　) A．＝ B．＞ C．＜ D．与的大小关系不确定 解析　－＝＝. 因为a＞b＞0，m＞0. 所以b－a＜0，a＋m＞0， 所以＜0. 即－＜0. 所以＜. 答案　C 3．若a＝，b＝，比较a与b的大小． 解析　因为a＝＞0，b＝＞0， 所以＝·＝＝＝log89＞1， 所以a＞b. [练后悟通] 比较大小常用的方法 [提醒]　用作差法比较大小的关键是对差式进行变形，常用的变形方法有通分、因式分解、配方等． 考点2　不等式的性质(师生共研) [例1]　(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　) A．若＞1，则a＞b B．若＞，则a＞b C．若a3＞b3且ab＜0，则＞ D．若a2＞b2且ab＞0，则＜ (2)(多选)若a＞0，b＞0，则使a＞b成立的充要条件是(　　) A．a2＞b2 B．a2b＞ab2 C．＞ D．a＋＞b＋ [解析]　(1)A中，只有