必考点05 用样本估计总体-【对点变式题】2021-2022学年高一数学下学期期中期末必考题精准练（人教A版2019必修第二册）

必考点05 用样本估计总体 题型一 众数、中位数、平均数的计算 例题1某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 【解题技巧提炼】 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．　　　　 题型二 总体集中趋势的估计 例题1某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数、中位数、平均分； (2)估计该校参加高二年级学业水平测试的学生的众数、中位数和平均数． 【解题技巧提炼】 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 (1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数． (2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．　　　　 题型三 标准差、方差、极差的计算 例题1某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)： 甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80； 乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85. 试分别计算两组数据的极差、方差和标准差． 【解析】甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)， 平均分为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)， 方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119， 标准差为s甲＝ ＝≈10.91(分)． 乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)， 平均分为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)， 方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25， 标准差为s乙＝ ＝≈8.67(分)． 【解题技巧提炼】 计算标准差的5步骤 (1)求出样本数据的平均数. (2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)． (3)求出xi－(i＝1,2，…，n)的平方值． (4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差． (5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．　　　　 题型四 总体的离散程度的估计 例题1甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差； (3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？ 【解题技巧提炼】 研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准，若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小来作出判断．　　　　 题型一 众数、中位数、平均数的计算 如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 题型二 总体集中趋势的估计 1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图， 则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数是________； (2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________； (3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________． 题型三 标准差、方差、极差的计算 1．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的