专题07 空间向量与空间坐标系-2022年新高二数学暑假预习精讲精练（新人教A版2019必修第二册+选择性必修第一册）

2022年高一数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019） 专题07空间向量与空间坐标系 基础知识复习 任务1 空间向量的概念 1.空间向量 （1）定义：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. （2）长度或模：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模. （3）表示法：①几何表示法，空间向量用有向线段表示. ②字母表示法，用字母，，，…表示. 若向量的起点是A，终点是B，则向量也可记作，其模记为或. 2.几类常见的空间向量 名称 定义 表示 零向量 长度为0的向量 单位向量 模为1的向量 1或1 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 方向相同且模相等的向量 或 任务2 空间向量的线性运算 1.空间向量的加法、减法以及数乘运算 由如图，知 ①； ②. 由如图，知 当时，； 当时，； 当时，. 2.空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：. 结合律：，. 分配律：，. 3.一般地，对于三个不共面的向量，，，以任意点O为起点，，，为邻边作平行六面体，则，，的和等于以O为起点的平行六面体的体对角线所表示的向量. 任务3 共线向量与共面向量 1.空间两个向量共线（平行）的充要条件 对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使. 2.直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，存在实数，使得.我们把与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量. 3.与直线、平面平行的向量 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行于直线l.如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. 4.共面向量 平行于同一个平面的向量，叫作共面向量. 5.三个向量共面的充要条件 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 任务4 空间向量的夹角 1.定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则叫作向量，的夹角，记作. 2.范围：.特别地，当时，两向量，同向共线，当时，两向量，反向共线，所以若，则或π；当时，两向量，互相垂直，记作. 任务5 空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个非零向量，，则叫作向量，的数量积，记作，即.零向量与任意向量的数量积为0，即 性质 ； 运算律 （交换律） （分配律） 任务6 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的定义：在空间中选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫作原点，，，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 2.画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使（或45°），. 3.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 4.空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，，，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理得，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫作点A的横坐标，y叫作点A的纵坐标，z叫作点A的竖坐标. 任务7 空间向量运算的坐标表示 设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 数量积 空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的，因此，一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 任务8 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设，，则 （1）， （2）（，均为非零向量）. （3）. （4）. 任务9 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设，，则 （1）； （2）. 典型习题强化 一、单选题 1．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（       ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 2．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（       ） A． B． C． D． 3．正方体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，的最大值为（       ）