专题01 指数幂与指数函数（知识点串讲）-【中职专用】高一数学期末复习大串讲（高教版2021·基础模块下册）

专题01 指数幂与指数函数 知识结构 要点梳理 知识点一 根式 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 [归纳总结]　 （1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根． （2）＝0(n＞1，且n∈N*)． 2．根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：(n＞1，且n∈N*) ①()n＝a. ②＝ 知识点二 指数幂 1.分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定：a＝____(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数 指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于 ， 0的负分数指数幂 . 2.无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数． 3.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R) (1)aras＝ar＋s．(2)(ar)s＝ars．(3)(ab)r＝arbr． [知识点拨]　在引入分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展；在引入无理数指数幂的概念后，指数概念就实现了由有理数指数幂向实数指数幂的扩展． 知识点三　指数函数 1.函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 思考：为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 2.指数函数的图象和性质 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 在R上是减函数 在R上是增函数 思考：对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝()x，y＝()x，…，为什么一定过点(0，1)? 题型探究 题型一 n次方根的概念 例1　(1)16的平方根为__ __，－27的5次方根为__ __； (2)已知x7＝6，则x＝__ __； (3)若有意义，则实数x的取值范围是__ __. 【思路分析】　解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求． 『规律方法』 （1）任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数； （2）()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定． 【变式】 计算下列各值： (1)27的立方根是__ __； (2)256的4次算术方根是_ __； (3)32的5次方根是__ __. 题型二 根式的化简 例2　计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【思路分析】　由题目可获得以下主要信息： ①所给形式均为的形式； ②形式中n分为奇数和偶数两种． 解答本题可依据根式的性质 ＝，完成化简． 『规律方法』　 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．对与()n的进一步认识 (1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)． (2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝. 【变式】 计算下列各式： ①＝__ __； ②＝__ __； 题型 三 根式与分数指数幂的互化 例3　将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1）； （2）； （3）． 【思路分析】　(1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简． 『规律方法』　进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式＝(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点： (1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式； (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简． 例4 将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1） ； （2）； （3）． 【思路分析】 要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系，按照规定逆向进行形式的转化． 【变式】 1．将下列各根式写成分数指数幂的形式： (1)；