专题12 三角函数的图像和性质（知识点串讲）-【中职专用】高一下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块上）

专题12 三角函数的图像和性质 【考点梳理】 考点一： 1．“五点法”作图 (1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 (0，0)， ，(π，0)， ， (2π，0)． (2)在确定余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 (0，1)， ， (π，－1)， ， (2π，1)． 例1.用“五点法”作的图像时，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为：，，，，，故选A. 变式1.用五点法画，的图象时，下列哪个点不是关键点（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】五点作图法在内的五个关键点为，可知不是关键点，故选：A. 例2.用五点法作函数的图像.   【答案】图象见解析 【解析】解：(1)列表： x 0 y=sinx 0 -1 0 1 0 描点，连线，画图如下： 变式2.用五点法作函数的图像.   【答案】图象见解析 【解析】解：列表： x 0 y=cosx 1 0 -1 0 1 描点，连线，画图如下： 考点二： 2．周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 例1.在下列函数中，最小正周期为的偶函数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：，即为偶函数，不是周期函数，错误； B：，即为偶函数，最小正周期为，正确； C：，即为偶函数，不是周期函数，错误； D：，非奇非偶函数，最小正周期为，错误，故选：B. 变式1.函数，的最小正周期是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得最小正周期，故选：B. 例2.下列函数中，最小正周期为π的是（       ） A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin 【答案】C 【解析】函数y=sinx，y=cosx的最小正周期均为，A，B都不正确；函数y=tanx的最小正周期为，C正确；函数y=sin的最小正周期为，D不正确，故选：C. 变式2.函数的最小正周期是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以其最小正周期为，故选:B. 考点三： 3．三角函数的图象和性质 函数 性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 R R 图象 值域 [－1，1] [－1，1] R 对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0) 对称轴： x＝kπ(k∈Z)； 对称中心:(k∈Z) 无对称轴； 对称中心:(k∈Z) 最小正 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间: (k∈Z)； 单调减区间: (k∈Z) 单调增区间: [2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 单调减区间: [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间: (k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 例1.函数的图象与函数y＝1的图象的交点个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】将与的函数图象绘制在同一直角坐标系，如下所示： 显然，数形结合可知，只有个交点，故选：. 变式1.从函数的图象来看，对应于cosx＝的x有(　　) A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值 【答案】B 【解析】如图所示，与的图像有个交点，∴方程有个解，故选B. 例2.函数与函数的图象关于（       ） A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 【答案】A 【解析】设，，所以有，因此两个函数的图象关于轴对称， 故选：A. 变式2.函数的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于坐标轴对称 【答案】B 【解析】的图像是由的图像保持轴上方的图像不变，轴下方的图像关于对称翻折得到，即如下图所示.由图可知，图像关于轴对称，故选B. 例3.函数的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4