专题10 角的概念、弧度制、任意角的三角函数（知识点串讲）-【中职专用】高一下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块上）

专题10 角的概念、弧度制、任意角的三角函数 【考点梳理】 考点一： 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角． ①α是第一象限角可表示为 {α|2kπ<α<2kπ+，k∈Z }； ②α是第二象限角可表示为 ； ③α是第三象限角可表示为 ； ④α是第四象限角可表示为或{α|2kπ－<α<2kπ，k∈Z}． (3)非象限角 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作 {α|α＝2kπ，k∈Z} ； ②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作 ； ③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作 ； ④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作 ； ⑤终边在x轴上的角的集合可记作 {α|α＝kπ，k∈Z} ； ⑥终边在y轴上的角的集合可记作 ； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 ． (4)终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ, k∈Z} 或 {β|β＝α＋k·360°,k∈Z}. 例1.时针经过一小时，转过了（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的角度为，则时针经过一小时，转过了. 故选：B． 变式1.喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（　　） A．30° B．﹣30° C．60° D．﹣60° 【答案】D 【解析】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 ，故选：D． 例2.给出四个命题：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角.其中正确的有（       ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】对①：是第四象限角，故①正确； 对②：，故其为第三象限角，故②正确； 对③：，又是第二象限角，故是第二象限角，③正确； 对④：，又是第一象限角，给是第一象限角，④正确. 故正确的有个，故选：. 变式2.下列选项中叙述正确的是（       ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．第一象限角是锐角 D．终边相同的角同名三角函数值相等 【答案】D 【解析】对于A，，不是锐角，A错误； 对于B，为第一象限角，为第二象限角，，B错误； 对于C，为第一象限角，但不是锐角，C错误； 对于D，由三角函数定义可知，终边相同的角同名三角函数值相等，D正确，故选：D. 例3.写出满足下面条件的角的集合：终边为y轴负半轴.     【答案】 【解析】解：因为终边为y轴负半轴，所以终边所在集合为. 变式3.写出满足下面条件的角的集合：终边落在y轴上． 【答案】 【解析】因为终边落在y轴上，所以终边所在集合为 . 例4.在0°到范围内，与终边相同的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以在0°到范围内与终边相同的角为，故选：B． 变式4.在之间与°终边相同的角是（       ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】与终边相同的角连同在内可以表示为（），对于A，当时，，故A正确；是第四象限角，而是第一象限角，是第二象限角，是第三象限角，故B、C、D错误，故选：A． 例5.当是第二象限角时，试讨论是哪个象限的角． 【答案】答案见解析. 【解析】由题设，，则， 所以，当为偶数时是第一象限角；当为奇数时是第三象限角； 变式5.若为第一象限的角，则角的终边在第几象限？ 【答案】答案见解析. 【解析】因为为第一象限的角，即，所以， 当k为偶数时，角的终边在第一象限；当k为奇数时，角的终边在第三象限，所以为第一象限的角，则角的终边在第一或第三象限. 考点二： 2．弧度制 (1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．＝ ，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长． (2)弧度与角度的换算：360°＝2π rad，180°＝π rad，1°＝rad≈0.01745rad，反过来1rad＝≈57.30°＝57°18′. (3)若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝ r ;扇形面积公式S扇＝r2＝lr． 例1.将转化为弧度为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选：B.