第19练 空间角与距离-2022年高一数学暑假能力提升作业+新学期知识初探（人教A版2019）

第19练 空间角与距离 一、单选题 1．（2022·全国·高一）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可. 【详解】 在正方体中，，所以异面直线与所成角为， 设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以， 则.故选C. 【点睛】 求异面直线所成角主要有以下两种方法： （1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 2．（2022·全国·高一单元测试）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A．2 B． C． D．1 【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面， 到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得: ,解得: 3．（2022·全国·高一单元测试）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】 考点：空间中直线与平面之间的位置关系． 分析：由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算． 解：连接A1C1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， ∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角． 在△AC1A1中，sin∠AC1A1===． 故选D． 4．（2022·全国·高一单元测试）如图，三棱锥中，，，且，，，是中点，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 取的中点，的中点，连接、、，则异面直线与所成角的平面角为，然后利用题目所给数据计算出，，，然后利用余弦定理求解出的余弦值大小，得到异面直线与所成角的余弦值大小. 【详解】 取的中点，的中点，连接、、，则， ∵，∴是的中点， 又∵是的中点， ∴， ∴为异面直线与所成的角或其补角， ∵，，且，面，所以面, 又∵，， ∴在中，， 在中，， 在中由余弦定理得， 在中由余弦定理得， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 5．（2022·陕西·虢镇中学高一期末）已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正弦值为它的高与母线的比值，结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正弦值. 【详解】 如图，根据圆锥的性质得底面圆， 所以即为母线与底面所成角， 设圆锥的高为，则由题意，有 ，所以， 所以母线的长为， 则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为. 故选：A 6．（2022·全国·高一单元测试）在直三棱柱中，点M是侧棱中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 可以取的中点，连接，将异面直线与转化为直线与所成的角，在连接，通过解三角形即可完成求解. 【详解】 如图所示，取的中点，连接，分别为、的中点，所以为的中位线，所以，所以异面直线与就是直线与所成的角，即或其补角，因为，所以，，，在中，，，，所以. 故选：B. 7．（2022·山东·高一阶段练习）在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且中点为M，过作平行于的截面，过作平行于的截面，记，与底面所成的锐二面角分别为，，若，则的值为（       ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 令平面平面，证明是与平面所成的锐二面角，同理可得，由此证得即可推理作答. 【详解】 令平面平面，平面平面，如图， 因平面，平面，则，因O是的垂心，则，即有， 又平面，平面，则，而，平面， 于是得平面，又平面，即有，因此，是与平面所成的锐二面角， 即，同理，，因，即，在与中，， 令，显然，则F是AB中点，直线CF是线段AB的中垂线，则， 所以的值为1. 故选：B 8．（2022·全国·高一单元测试）在长方体中，，，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面与底面交于、两点，、分别在下底面的边、上，，平面与棱交于点，则直线与侧面所成角的正切值为（       ）. A． B． C． D． 【答案】A