专题16 等比数列-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题16 等比数列 例题1．“”是“2，，8成等比数列”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．下列各组数成等比数列的是（       ） ①，，，       ②，，，       ③，，，       ④，，， A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 例题3．已知等差数列的前n项和为，且成公比为q的等比数列，则（       ） A． B．1 C． D．3 例题4．已知数列满足，其前项和为，且，则数列的前项和为（       ） A． B． C． D． 例题5．设等比数列的公比，前项和为，则（       ） A． B． C． D． 例题6．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，则公比q＝（       ） A． B．2 C． D．3 【解题技巧提炼】 1．等比数列的有关概念 (1)定义： ①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：＝q(n∈N＋，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(a、G、b不为零)． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1． (2)前n项和公式： Sn＝ 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N＋)． (2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq． 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a． (3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N＋，公比q≠－1)． (4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列． (5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk． 4.等比数列的判断与证明的常用方法 方法 解读 适合题型 定义法 在an≠0(n∈N＋)前提下，若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数，n≥2且n∈N＋)，则{an}是等比数列 已知中提供的递推关系式，或者是an与Sn的关系式进行化简，转化为数列{an}中相邻两项之间的关系 等比中项法 数列{an}中，an≠0，如果根据已知条件能化简得到a＝an·an＋2(n∈N＋)，或者是证明此式成立，则数列{an}是等比数列 证明三项成等比数列 通项公式法 观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列 能明确通项公式，用于选择或填空题中 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则数列{an}是等比数列 能明确前n项和公式，只用于选择或填空题中 5．等比数列的前n项和公式 等比数列前n项和 公比 已知量 适用公式 q＝1 首项 Sn＝na1 q≠1 首项，公比，项数 Sn＝ 首项，公比，末项 Sn＝ 思考：(1)等比数列的前n项和公式中涉及哪些量？ [答案]　Sn，a1，q，n，an，共五个量． (2)当等比数列的公比q≠1时，其前n项和公式可化为Sn＝－Aqn＋A的形式，其中的A是什么？ [答案]　A＝． 6．等比数列前n项和公式的推导 该等比数列{an}的前n项和为Sn．公比为q， 则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①， qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②， ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn． 当q≠1时，Sn＝(q≠1)． 又因为an＝a1qn－1，所以上式还可以写成 Sn＝． 当q＝1时，Sn＝na1． 7.等比数列前n项和性质的应用技巧： 1在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n，则＝qS奇≠0；若项数为2n＋1，则＝qS偶≠0. 2等比数列前n项和为Sn且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qnq≠－1. 3等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm. 4若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－AA≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列. 1．已知为数列的前n项和，且，，则_______． 2．设各项为正数的等比数列的前项和为，且，，则___________. 3．已知数列满足：，且，，则此数列的前20项的和为______． 4．已知成等比数列，且，则=_________. 5．等比数列的前n