专题17 数列 数学归纳法-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题17 数列 数学归纳法 例题1．数列的通项公式是（，），这个数列从第______项起各项均为正数． 例题2．已知数列的通项公式为，对于任意，恒成立，则实数的取值范围是______． 例题3．已知数列的通项公式为，若为该数列的最小项，则______． 例题4．在数列中，，，则数列的通项公式___________. 例题5．与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知______时该命题不成立． 例题6．用数学归纳法证明“＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共___项． 例题7．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为______. 【解题技巧提炼】 1．数列的概念及一般形式 思考1：数列1,2,3与数列2,1,3相同吗？ [答案]　不同，顺序不一样． 2．数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 3.数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式． 思考2：数列一定有通项公式吗？ [答案]　不一定． 4．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法 思考3：数列所对应的图像是连续的吗？ [答案]　不连续． 拓展：(1)解读数列的通项公式 ①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式． ②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． ③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的． (2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 易错提醒：{an}与an是含义不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系． 2．要注意以下两个易错点： (1)并非所有的数列都有通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式． (2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式． 3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号； (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 5.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (i)(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立； (ii)(归纳递推)假设当时命题成立，证明当时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法. 1．若数列的通项公式为，则关于此数列的图像叙述不正确的是（       ） A．此数列不能用图像表示 B．此数列的图像仅在第一象限 C．此数列的图像为直线 D．此数列的图像为直线上满足的一系列孤立的点 2．已知数列的通项公式为，则在下列各数中，不是的项的是（       ） A．21 B．33 C．152 D．153 3．已知数列的通项公式为，则数列为（       ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定数列的增减性 4．设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（       ） A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列 C．恒成立 D． 5．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（       ） A． B． C． D． 6．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（       ） A．1项 B．k项 C．项 D．