必考点10 二项分布与超几何分布、正态分布精析-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点10 二项分布与超几何分布、 正态分布精析 题型一 二项分布 例1．（2022•文登市三模）现有正整数1，2，3，4，5，，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步． （Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为，求和； （Ⅱ）求质点恰好到达正整数6的概率． 【答案】（Ⅰ）的可能取值为3，4，5 ，， 的分布列为 3 4 5 （Ⅱ）质点恰好到达6有三种情形 ①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4，概率； ②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4，概率为；③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4，概率 所以 即质点恰好到达正整数6的概率为． 例2．（2022春•禅城区期末）篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为． （1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值； （2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率． 【答案】（1）依题意，的分布列为 0 1 当时，取最大值，且最大值为 （2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则 那么 则运动员甲投5次篮得分为4分概率为． 【解题技巧提炼】 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 题型二 超几何分布例 例1．（2021春•金台区期末）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数， （1）请列出的分布列； （2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 【答案】（1）依题意得，随机变量服从超几何分布， 随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为0，1，2，3，4． ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）由分布列可知至少选3名男生， 即． 例2．某商场庆“十一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里播匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如表： 摸出的5个球中带“奖”字球的个数 奖品 0 无 1 无 2 肥皂一块 3 洗衣粉一袋 4 雨伞一把 5 自行车一辆 （1）若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率； （2）若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率． 【答案】（1）设为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数， 则服从参数为，，的超几何分布， 的可能取值为0，1，2，3，4，5， 则的分布列为，1，2，3，4，， 若要获得奖品，只需， 则， 所以某人凭发票摸奖一次，中奖的概率为； （2）若想要获得自行车，则必须， 故， 所以某人凭发票摸奖一次，奖品为自行车的概率为． 【解题技巧提炼】 　(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 二项分布与超几何分布的区别与联系 1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别. 2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布. 题型三 正态分布 例1．（2022•赤峰模拟）某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数中的是正态分布的期望值，是正态分布的标准差，且，，则以下结论正确的是　　 A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高 B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大 C．1班110分以上的人数约占该班总人数的 D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等 【答案】D 【解析】由题意结合正态分布的密度曲线可得1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，故错误， 由图象可得1班的数学成绩的标准差为5，2班的数学成绩的标准差为6，相