必考点09 离散型随机变量及其分布列和期望方差超全解决方案-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点09 离散型随机变量及其分布列和期望方差超全解决方案 题型一 分布列的性质 例1．（2022春•让胡路区月考）已知随机变量的分布列是： 1 2 3 则　　 A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意可得：，所以． 故选A． 例2．（2022春•运城月考）设随机变量的可能取值为1，2，，，并且取1，2，，是等可能的．若，则下面结论中正确的是　　 A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】随机变量的可能取值为1，2，，，并且取1，2，，是等可能的． ， ， 解得， 故选A． 【解题技巧提炼】 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 题型二 分布列的求法 例1．（2022•济南三模）数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了件商品． （1）若，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数的分布列． （2）抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求的最小值． 【答案】（1）由题意可知，的取值为0，1，2． ，，． 所以顾客检查的前4件商品中不合格品件数的分布列为 0 1 5 （2）记“顾客购买的件商品中，至少有两件合格产品”为事件， 则， 由题意可知， 所以，即， 设，则， 所以， 因为（5），（6）， 所以当时，成立，所以的最小值为6． 例2．（2022春•番禺区期中）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如表： 分组区间（单位：克） ， ， ， ， ， 产品件数 3 4 7 5 1 包装质量在，克的产品为一等品，其余为二等品． （1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率； （2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设为一等品的产品数量，求的分布列； （3）从该流水线上任取2件产品，设为一等品的产品数量，求的分布列． 【答案】（1）样本中一共有件产品， 包装质量在，克的产品有件， 故从该流水线任取一件产品为一等品的概率为． （2）依题意的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 （3）依题意，则的可能取值为0，1，2， ，， ， 的分布列为： 0 1 2 【解题技巧提炼】 离散型随机变量分布列的求解步骤 题型三 离散型随机变量的期望、方差的计算 例1．（2022•赤峰模拟）某市为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级学生的视力情况进行调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，得到了如表所示的统计数据． 视力范围 ， ， ， ， ， ， 学生人数 10 35 20 5 （1）求的值，并估计这些高三学生视力的平均值；（结果精确到0.1，同一组中的数据用该组区间的中点值代替） （2）2022年某空军航空大学招生对考生视力的要求是不低于0.5．若以该样本数据来估计全市高三年级学生的视力，现从全市视力不低于4.8的学生中随机抽取4名学生，设这4名学生中有资格报考该空军航空大学的人数为．求的分布列与数学期望． 【答案】（1）由题意可得，，解得， 这100名学生视力的平均值为． （2）在视力不低于4.8的学生中，视力不低于5.0的学生所占的比例为， 故从全市视力不低于4.8的学生中随机抽取4名学生， 则， ，，1，2，3，4， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 故． 例2．（2022春•滨湖区期中）小明和小亮是两名篮球运动爱好者，根据统计数据，他们进行投篮练习时，小明投篮成功的概率为，小亮投篮成功的概率为，每次投篮成功与否相互独立． （1）小明单独进行投篮练习，一旦投篮成功便停止，求停止时，投篮次数不超过3次的概率； （2）小明和小亮两人同时进行投篮练习，规定每人都投篮2次，记他们总共投篮成功的次数之和为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）记“投篮次数不超过3次”为事件，由题知， 小明停止时，投篮次数不超过3次的概率为． （2）的所有可能取值为0，1，2，3，4，，，，， ， 的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 ． 【解题技巧提炼】 　求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值