必考点08 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式问题-【对点变式题】2021-2022学年高二数学下学期期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第二册）

必考点08 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式问题 题型一 相互独立事件的概率 例1．2022•齐齐哈尔期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．若“星队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为． （1）求的值； （2）求“星队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率． 【答案】（1） “星队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为， ， 解得． （2）设事件 “甲第一轮猜对”，事件 “乙第一轮猜对”， 事件 “甲第二轮猜对”，事件 “乙第二轮猜对”， “星队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为： （B）（C）（D）（A）（C）（D）（A）（B）（D）（A）（B）（C） ． 例2．2021西城区期末）在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．设每人回答问题正确与否是相互独立的． （Ⅰ）求乙答对这道题的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率． 【答案】（Ⅰ） 记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，，，设乙答对这道题的概率（B）， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，，是相互独立事件． 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得 解得， 所以，乙对这道题的概率为． （Ⅱ）设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件，丙答对这道题的概率（C）， 由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得， 解得． 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为． 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件， 所以，所求事件概率为． 【解题技巧提炼】 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 题型二 条件概率 例1．（2022春•怀仁市期中）已知在所有男子中有患有色盲症，在所有女子中有患有色盲症，随机选一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 “男子”， “女子”， “这个人有色盲”； 故，，（A），（B）； 所以， 故选B． 例2．（2022春•龙凤区期中）已知（A），（B），，则　　 A．0.2 B．0.3 C．0.75 D．0.25 【答案】) 【解析】因为，所以， 所以． 故选C． 【解题技巧提炼】 求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. 题型三 全概率公式的应用 例1．（2022春•山东月考）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球． （1）求第一次取出的球为红球的概率； （2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【答案】（1）设第一次取出红球为事件，取到甲袋，乙袋，丙袋为事件，，， 由全概率公式可得，（A）． （2）设第二次取出的球是白球为事件，由全概率公式可得： ， 故． 例2．有两箱同一品种的零件，第1箱内装50件，其中10件是一等品；第2箱内装30件，其中18件是一等品．现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出2件，取出的零件均不放回．求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）在先取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件仍是一等品的概率． 【答案】（1）设事件表示被挑出的是第箱，事件表示第次取出的零件是一等品， 则由题意可知， ，， ． 故先取出的零件是一等品的概率为． （2）由（1）解法可知：， ． 故在先取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件仍是一等品的概率为． 【解题技巧提炼】 　利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 题型一 相互独立事件的概率 1．（2022春•虎丘区期中）已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是　　 A．0.54 B．0.32 C．0.84 D．0.86 【答案】D 【解析