第12讲 函数的概念和图象-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第12讲 函数的概念和图象 【学习目标】 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 4.会判断两个函数是否为同一函数. 5.能正确使用区间表示数集. 6.会求一些简单函数的值域. 【基础知识】 知识点一 函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． 【解读】(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数． (2)集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即{f(x)|x∈A}⊆B. (3)在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”． 知识点二　函数的三要素 从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、对应关系、值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验： (1)定义域和对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应． 知识点三　同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 知识点四　描点法作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来． (2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在平面直角坐标系中描出来． (3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来． 知识点五 常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 【考点剖析】 考点一：函数的概念及其构成要素 例1．判断下列对应是否为函数. （1），； （2），； （3），其中，，； （4），其中，，； （5），其中，，； （6），其中y为不大于x的最大整数，，. 【答案】（1）是函数（2）是函数（3）是函数（4）是函数（5）不是函数（6）是函数 【解析】 【分析】 根据函数的概念分别分析6个对应可得答案. 【详解】 （1）根据函数的概念可知，对应，是函数； （2）根据函数的概念可知，对应，是函数； （3）根据函数的概念可知，对应，其中，，是函数； （4）根据函数的概念可知，对应，其中，，是函数； （5）当时，，根据函数的概念可知，对应，其中，，不是函数； （6）根据函数的概念可知，对应，其中y为不大于x的最大整数，，是函数. 考点二：给出解析式求函数的定义域 例2．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由具体函数的定义域列出方程式即可得出答案. 【详解】 由，解得：且. 故选：C 考点三：同一函数的判断 例3．（多选题）下列选项中能表示同一个函数的是（       ） A．与 B．与 C．， D．， 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据两个函数相等，则其对应关系相同且定义域也相同，分别从对应关系和定义域两个方面分析判断． 【详解】 对于A：的定义域为，的定义域为，A不正确； 对于B、C：显然定义域均为，虽然解析式书写形式不一样，但对应关系相同，B、C正确； 对于D：显然定义域均为，，则，，D正确； 故选：BCD． 考点四：抽象函数求定义域 例4．求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 【答案】(1)[0，] (2)[3，5] (3)[2，3] 【解析】 【分