第08讲 基本不等式-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第08讲 基本不等式 【学习目标】 1.掌握基本不等式. 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题. 3.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值. 4.能够利用基本不等式解决实际问题. 【基础知识】 知识点一　基本不等式 如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式称为基本不等式． 知识点二　基本不等式与最大(小)值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝S(S为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值；(简记：和定积有最大值) (2)若xy＝P(P为定值)，则当且仅当 x＝y时，x＋y取得最小值 2.(简记：积定和有最小值) 知识点三　基本不等式的实际应用 基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下： (1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为因变量． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)根据实际意义写出正确的答案． 【考点剖析】 考点一：对基本不等式的理解及简单应用 例1．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（       ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】 【分析】 利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案． 【详解】 对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值， 此时， 当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误； 对：， 当且仅当，即时取等号， 但，则等号取不到，故的用法有误； 对：，，， 当且仅当，即时取等号，故的用法有误； 故使用正确的个数是0个， 故选：. 考点二：利用基本不等式比较大小 例2．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出与的大小关系. 【详解】 因为、是正实数，且，则， ，因此，. 故选：B. 考点三：利用基本不等式证明不等式 例3．设，为正实数，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 利用基本不等式计算可得； 【详解】 解：因为，为正实数，所以，，，当且仅当时取等号，所以，即，当且仅当时取等号. 考点四：利用基本不等式求最值 例4．若，且.则的最小值为（       ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可知，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求出结果. 【详解】 因为， 所以，当且仅当时，即时，等号成立. 故选：D. 考点五：利用基本不等式求解恒成立问题 例5．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意当时，不等式恒成立，由于的最小值等于3，可得，从而求得答案． 【详解】 当时，不等式恒成立， 对均成立． 由于， 当且仅当时取等号， 故的最小值等于3， ， 则实数a的取值范围是． 故选：D． 考点六：基本不等式在实际问题中的应用 例6．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，点C在MN上，米，米． (1)要使扩建成的花坛面积大于27米，则AN的长度应在什么范围内？ (2)当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积． 【答案】(1)或 (2)当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米 【解析】 【分析】 （1）设，（），由∽，得到，然后得到花坛AMPN的面积，再由求解； （2）由（1）的结果变形，然后利用基本不等式求解； (1) 解：设，则． ∽， ，即， 解得． 花坛AMPN的面积． 由，得，则， 解得或， 故AN的长度范围是或． (2) 由， 当且仅当，即时，等号成立． 当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米． 【真题演练】 1．若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析:，所以错;，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，错;同时错;或都是正数，根据基本不等式求最值，，故正确. 考点：不等式的性质 2．若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】 两次利用基本不等式即可求出. 【详解】 ， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 3． 设，，，则的最小值为________