第01讲 集合的概念与表示-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第01讲 集合的概念与表示 【学习目标】 1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法． 2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义． 3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合． 【基础知识】 知识点一 集合的概念 (1)元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 知识点二 集合与元素的关系 如果a是集合A的元素，记作，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作，读作“a不属于A”. 知识点三 集合中元素的特点 (1)确定性：集合的元素必须是确定的. (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的. (3)无序性：集合中的元素可以任意排列. 知识点四 常用数集及其记法 所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N; 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*； 所有整数组成的集合称为整数集，记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集，记作R. 知识点五 集合的表示 (1)列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），放在大括号内，依此表示集合的方法称为列举法，如，等. 使用说明 ①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序. ②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. ③无限集有时也可用列举法表示. (2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质为集合 A的一个特征性质，此时集合A可以表示为，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称描述法. 使用说明 ①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}. ②集合中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}. 知识点六 集合的分类 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集. 【考点剖析】 考点一：集合的含义 例1．下列对象不能组成集合的是（       ） A．不超过20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【答案】B 【解析】 根据集合的性质逐项判断. 【详解】 不超过20的质数构成集合；方程的实数根构成集合；函数的最小值构成集合.而的近似值标准不明确，不能组成集合. 故选：B 考点二：元素与集合关系的判断 例2．下列关系中，正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合的关系. 【详解】 对于A，，所以A错误； 对于B，不是整数，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D， 因为不含任何元素，则，所以D错误. 故选：C. 例3．用符号“”和“”填空： （1）______N；       （2）1______；       （3）______R； （4）______；       （5）______N；       （6）0______． 【答案】                              【解析】 【分析】 根据元素与集合的关系判断. 【详解】 由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 （1）（2）（3）（4）（5）（6）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）. 考点三：集合的确定性、互异性、无序性 例4．若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】 利用集合的互异性，分类讨论即可求解 【详解】 因为a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a=1或a=a2﹣2a+2， 当a=1时：a2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当a≠1时：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2； 故答案为：2 考点四：集合的表示：描述法 例5．用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)且 【解析】 【分析】 根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解. (1) 解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为： (2) 解：不等式的解集，用描述法可表示为：. (3) 解：方程的所有实数解组成的集合， 用描述