专题07 函数的性质（知识点串讲）-【中职专用】高一下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块上）

专题07 函数的性质 【考点梳理】 考点一： 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 例1.下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在R上单调递减，A正确；在上单调递减，在上单调递增，故B错误；在上单调递增，故C错误；在R上单调递增，D错误，故选：A 变式1.下列函数中，在区间上为增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：根据指数函数的单调性可知该函数在R上为单调减函数，故错误； 对于选项B：根据反比例函数的性质可知该函数在为单调递减函数，故错误； 对于选项C：根据对数函数的单调性可知该函数在为单调递增函数，故正确； 对于选项D：根据二次函数的性质可知该函数在不单调，故错误，故选：C. 例2.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的单调递增区间是，依题意，， 所以，即实数的取值范围是，故选：D. 变式2.已知在为单调函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，故选：D. 例3.如图是函数的图象，则函数的减区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，， 故选：D． 变式3.函数f (x)=在R上（       ） A．是减函数 B．是增函数 C．先减后增 D．先增后减 【答案】B 【解析】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数. 故选：B. 例4.已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意奇函数是定义在区间上的增函数，， ，故选：B. 变式4.已知在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围 . 【答案】 【解析】由于函数在定义域上是减函数，且，可得，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：. 考点二： 2．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． (4)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的 必要不充分条件． 例1.已知函数，则（       ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【解析】由题意，，即函数为偶函数，故选：B. 变式1.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增，是偶函数，故A不符合题意；函数是非奇非偶函数，故B不符题意；是奇函数且在上单调递增，故C符合题意；在上单调递增，是偶函数，故D不符题意，故选：. 例2.已知函数是奇函数，当时，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，则，因为函数是奇函数，则. 故选：D. 变式2.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，，，∴，故选：C. 例3.若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 . 【答案】 【解析】由题意得：，即①，②，②-①得：，解得：，故答案为：． 变式3.若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 【答案】， 【解析】依题意，函数是奇函数，是偶函数， 解得，. 例4.若函数是偶函数，则 . 【答案】 【解析】因为函数是偶函数，故，即，