专题09 对数及对数函数（知识点串讲）-【中职专用】高一下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块上）

专题09 对数及对数函数 【考点梳理】 考点一： 1．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. (3)对数与指数之间的关系 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. (4)对数运算的性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝. 例1. （       ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，∴，故选：B. 变式1.已知，则a的值为（       ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】∵，，∴，解得，故选：D. 例2.在中，实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对数的定义知，解得 或 ，故选C． 变式2.使有意义的实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是，故选：C. 例3.求值：（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选：C． 变式3.下列各等式正确的为（       ） A． B． C． D．（，，） 【答案】D 【解析】A：，错误；B：，错误； C：当x，y均为负数时，等式右边无意义，错误；D：且，，，正确，故选：D． 例4.已知，那么=（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，则x=2，故选：B. 变式4.已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴，∴，故选C． 例5.已知函数则（       ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由已知，故选：D. 变式5.已知函数，则 . 【答案】1 【解析】，，故答案为：. 例6.若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，，故选：C． 变式6.若，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选：C． 考点一： 2．对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 例1. 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足，故选：B. 变式1.在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，故选：． 例2.函数 为对数函数，则等于（ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 为对数函数，所以函数系数为1，即即或，因为对数函数底数大于0，所以，，所以，故选B． 变式2.已知函数(且)，若，则实数＝ . 【答案】3 【解析】∵(且)，，∴，故答案为：3． 例3.函数（且）恒过定点（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，即时，，所以定点为，故选：C． 变式3.函数（且）恒过定点，则b＝ . 【答案】2 【解析】由题意知：恒成立，解得，故答案为：2. 例4.已知实数，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，所以，故选：A． 变式4.设，，，则（       ） A．