专项训练四 平行四边形、矩形、菱形、正方形-八年级下册初二数学【金版卷王】名师面对面大考卷(人教版)

１６．a２＋b２ １７．解:由勾股定理得:CE２＝x２＋１５２,DE２＝１０２＋(２５ －x)２,由已知得:x２＋１５２＝(２５－x)２,解得x＝８． １８．证明:如图２,图３结论均是:PA２＋PC２＝PB２ ＋PD２．证明:如图②过点P 作MN⊥AD 交AD 于点M,交BC 于点N．　 ∵AD∥BC,MN⊥AD, ∴MN ⊥BC,在 Rt△AMP 中,PA２＝PM２＋ MA２,在Rt△BNP 中,PB２＝PN２＋BN２,在Rt △DMP 中,PD２＝DM２＋PM２,在 Rt△CNP 中,PC２＝PN２＋NC２, ∴PA２＋PC２＝PM２＋MA２＋PN２＋NC２, PB２＋PD２＝PM２＋DM２＋BN２＋PN２． ∵MN⊥AD,MN⊥NC,DC⊥BC, ∴四边形 MNCD 是矩形． ∴MD＝NC,同理AM＝BN． ∴PM２＋MA２＋PN２＋NC２＝PM２＋DM２＋ BN２＋PN２．即PA２＋PC２＝PB２＋PD２． １９．解:菱形ABCD 的面积存在最小值也存在最大值, 最小值是４,最大值是８．５． 因为菱形ABCD 的高等于纸条的宽度２,所以当菱 形的边最小时,它的面积也最小;菱形的边最大时, 它的面积也最大．如图(１)当菱形ABCD 为正方形 时,菱形的面积最小,最小值为２×２＝４;如图(２)时, 菱形ABCD 的边长最大,在图(２)中,设AD＝x,则 DE＝８－x 在Rt△CDE 中,根据勾股定理得:２２＋ (８－x)２＝x２ 解得x＝４．２５．所以菱形ABCD 的面积 最大值为４．２５×２＝８．５． 　 (１)　　　　　　　(２) １９题答图 勾股定理的逆定理 １．６,８,１０　２．直角　３．４５°　４．１３或 １１９　 ５．②③　６．①④ ７．解:因为 BC＝１６,AD 为BC 边上的中线,所以 DC＝BD＝ １ ２BC＝８ ,而AD＝１５,AB＝１７,因为 AD２＋BD２＝１５２＋８２＝２８９＝１７２＝AB２,所 以 △ADB 为直角三角形,且∠ADB＝９０°．所以 AD ⊥BC,故△ADC 为直角三角形．又由勾股定理,得 AC＝ AD２＋DC２＝ １５２＋８２＝１７． ８．解:三角形的三边的长分别为:６０× ５ ５＋１２＋１３ ＝１０cm,　６０× １２ ５＋１２＋１３＝２４cm , ６０× １３ ５＋１２＋１３＝２６cm． ∵１０２＋２４２＝６７６＝２６２,　 ∴此三角形是直角三角形．　 ∴S＝ １ ２×１０×２４＝１２０ (cm２)． 专项训练四 平行四边形、矩形、菱形、正方形 １．A　２．B　３．C　４．D　５．C　６．B　７．D ８．１５°　９．３　１０．２４cm　１１．３　１２．８　１３． ２ ２　 １４．３６cm　１５．２５　１６．＝　１７． ５ ３ １８．证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB＝CD．　 ∴∠GBC＝∠BGA,∠BCE＝∠CED．　 又∵BG 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,　 ∴∠ABG＝∠GBC,∠BCE＝∠ECD,　 ∴∠ABG＝∠BGA,∠ECD＝∠CED．　 ∴AB＝AG,CD＝DE．　∴AG＝DE．　 ∴AG－EG＝DE－EG,即AE＝DG． １９．证明:因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AD∥BC．所以∠DAB＋∠ABC＝１８０°, 又因 为 AE,BM 是 角 平 分 线,所 以∠EAB＋ ∠ABM＝ １ ２×１８０°＝９０°． 所以∠AHB 是直角． 同理∠DLC,∠BKC 是直角,所以四边形 GHＧ KL 是矩形． ２０．证明:∵四边形ABCD 是正方形． ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝９０°, AB＝BC＝CD＝DA． ∵AP＝BQ＝CR＝DS．　 ∴PB＝CQ＝RD＝SA． ∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS． ∴PS＝QP＝QR＝SR,∠ASP＝∠BPQ． ∴四边形PQRS 是菱形． 又∵∠APS＋∠ASP＝９０°, ∴∠APS＋∠BPQ＝９０°． ∴∠QPS＝１８０°－(∠APS＋∠BPQ)＝ １８０°－９０°＝９０°． ∴四边形PQRS 是正方形． ２１．证明:(１)当∠AOF＝９０°时, ∵AB⊥AC,∴AB∥EF, 又∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AF∥BE, ∴四边形ABEF 为平行四边形． —６８— (２)∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AO＝CO,AF∥BE． ∴∠FAO＝∠ECO,∠AOF＝∠COE, ∴△AOF≌△COE,∴AF＝EC． (３)四边形BEDF 可以是菱形． 理由:连接BF,DE．由(２)知△AOF≌△COE,得 OE＝OF, 又∵BO＝DO,∴四边形BEDF 为平行四边形． 当EF⊥BD 时,DF＝DE． ∴四边形BEDF 为菱形,在Rt△ABC 中, AC＝ ５－１＝２． ∴OA＝１