专题15 等差数列-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题15 等差数列 题型一：等差数列的概念 例题1．已知在等差数列中，,，则=（       ） A．8 B．10 C．14 D．16 例题2．数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（       ） A． B． C． D． 【解题技巧提炼】 1．等差数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差． 拓展：等差数列定义的理解 (1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 2．等差数列的通项公式及其推广 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)． 思考：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？ [答案]　d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数． 3．等差数列的单调性 等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列． 等差数列的判定方法有以下三种： 1定义法：an＋1－an＝d常数n∈N＋⇔{an}为等差数列； 2等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N＋⇔{an}为等差数列； 3通项公式法：an＝an＋ba，b是常数，n∈N＋⇔{an}为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 4．等差中项 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝. 在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项． 思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？ [答案]　是． 5．等差数列的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq. ①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 思考2：在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？ [答案]　令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令s＝t＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立． 拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (2)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列． (3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (4){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 题型二：等差数列的前n项和 例题1.已知等差数列则数列的前项的和为（       ） A． B． C． D． 例题2．设等差数列的前n项和为，若数列也是等差数列，则其首项与公差的比（       ） A． B． C． D． 题型一：等差数列的概念 1．在等差数列{}中，，，则＝__． 2．在等差数列{an}中，a3＝3，公差d＝﹣2，则a6＝_____． 3．若数列是等差数列，，则______． 题型二：等差数列的前n项和 1．在等差数列中，，设数列的前n项和为，则__________． 2．已知等差数列的各项均为正数，其前n项和满足，则其通项______． 【解题技巧提炼】 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn= Sn=na1+d 【思考】 　(1)已知等差数列的首项、末项,如何求前n项和? 答案:运用公式Sn=. (2)已知等差数列的首项、公差,如何求前n项和? 提示:运用公式Sn=na1+d. 2.等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式Sn=na1+d整理成关于n的函数可得Sn=n2+n. 【思考】 Sn=an2+bn+c,其中a,b,c为常数,一定为一个等差数列的前n项和吗? 答案:不一定.当c=0时,Sn=an2+bn是一个等差数列的前n项和. 2．三个必备结论 (1)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝