专题06 函数的概念及其表示（知识点串讲）-【中职专用】高一下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块上）

专题06 函数的概念及其表示 【考点梳理】 考点一： 1．函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 例1.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义，故选：C． 变式1.如图，可以表示函数的图象的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求，故选：D． 变式2.设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】由函数的定义知，①不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]； ②不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]； ③不能表示集合到的函数关系，因为对于一个x，可能有两个y值与之对应； ④能表示集合到的函数关系. 故满足题意的有④，共1个，故选：A. 考点二： 2．构成函数的三要素 (1)函数的三要素是：定义域，对应关系，值域. (2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等． 例1.函数的定义域为（       ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要是函数有意义，必须，解之得，则函数的定义域为 故选：D． 变式1.函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解得且，故选：D． 例2.已知函数的定义域为[1，3]，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为[1，3]，所以，得，所以函数的定义域为，故答案为：． 变式2.若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】因为，所以，所以的定义域为，要使有意义，需满足，解得，故答案为：． 例3.下列各组函数中，表示同一函数的是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】A中，的定义域为，的定义域为R，故A错误； B中，，B正确； C中，的定义域为R，的定义域为，故C错误； D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误. 故选：B． 变式3.以下各组函数中，表示同一函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，，对应法则不同，故不是同一函数； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数； 对于C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数； 对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数. 故选：C． 例4.已知函数f (x)，，则函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,对称轴,当,又因为，所以函数的值域为，故选:D． 变式4.的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】开口向上，且对称轴为，所以有最小值，即，所以值域为，故选：B. 考点三： 3．函数的表示方法 (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法． (2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系的方法． (3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法． 例1.已知函数，那么的表达式是 . 【答案】 【解析】，令，则，故，故，，故答案为：． 变式1.已知，求的解析式． 【答案】 【解析】解：设，则，所以，所以的解析式为． 例2.已知，则的解析式为 . 【答案】 【解析】因为，（1） 所以， 所以，（2） （2）-（1）可得，，故答案为：． 变式2.已知，则 ． 【答案】 【解析】由①，将用代替得②， 2×①-①得，，故答案为：. 考点四： 4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数． 例1.已知函数，则（       ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，故选：A． 变式1.已知函数则 . 【答案】 【解析】因为，所以，，所以，故答案为：. 例2.已知函数，求使得的自变量的取值范围． 【答案】 【解析】解