专题09 立体几何-【中职专用】河南省近十年对口高考数学真题分类汇编

专题09 立体几何 1.（2021年河南对口高考）圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 . 【答案】 【解析】由题知圆柱的底面半径为2，高为4，所以，，故答案为. 2.（2021年河南对口高考）如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在直三棱柱中，，∵，∴，∵，，，所以三边符合勾股定理，，因为，，∴，得证. 3.（2021年河南对口）若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为，则球的体积为 ． 【答案】 【解析】由题可知，球体的半径为，故该球体的体积为，故答案为. 4.（2020年河南对口高考）已知直四棱柱中，底面中，，，，且. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在底面中，，，∴，又∵，，所以，故，∵四棱柱为直棱柱，所以，又∵，，∴，∵，∴. 5.（2020年河南对口）已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为 . 【答案】1 【解析】设正方体的棱长为，外接球的半径为，根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得， 由，可得，即，解得，故答案为1． 6.（2020年河南对口）如图，已知点P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，过点A做线段PC的垂线AD，求证：BC⊥AC． 【答案】见解析 【解析】证明：因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为ADPA＝A，所以BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC． 7.（2019年河南对口高考）三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】取中点M，连接EM，FM，则FM∥，则即为直线与所成角，，，，，所以，故选C. 8.（2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为 . 【答案】 【解析】正三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的中心，底面三角形的高为：，三角形的重心分中线为2：1的关系，所以底面三角形重心到顶点的距离为，所以三棱锥的高为：，又因为底面三角形的面积为：，所以该正三棱锥的体积为：，故答案为：. 9.（2019年河南对口高考）已知矩形，点为平面外一点，,且. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在矩形中，，∵，，，∴，∵，∴，∵，，，∴，又∵，∴. 10.（2018年河南对口高考）下列命题中，错误的是（ ） A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 【答案】C 【解析】若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线不一定互相平行，所以C选项错误，故选C. 11.（2018年河南对口高考）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱 形，，底面，，，分别是，的中点. （1）证明：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴，∵，，所以∥平面. （2）∵是的中点，∴点P到底面ABCD的高是点E到底面ABCD的高的2倍，，，所以 . 12.（2018年河南对口）若圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】圆锥的底面面积为，则底面半径r=1，由勾股定理可得：，所以圆锥的体积为，故答案为. 13.（2017年河南对口高考）将一个球的体积扩大到原来的2倍，则它的半径为原来的_______倍. 【答案】 【解析】设原来球的半径为，现在球的半径为，由得，故答案为：. 14.（2017年河南对口高考）如图，正方体的棱长为1. （1）求所成的角； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）∵，所以即为所成的角，因为，所以. （2）. 15.（2017年河南对口）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】见解析 【解析】证明：（1）连接交于点，连接，∵底面是菱形，∴为的中点，∵点为的中点，∴，∵平面，且平面，∴平面. （2）∵底面是菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面，平面，∴. 16.（2016年河南对口高考）在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（ ） A. 平行 B．相交