专题12.3 角度计算中的经典模型-重难点题型-2021-2022学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题12.3 角度计算中的经典模型 【苏科版】 【题型1 双垂直模型】 【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°. 【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED. 【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE 同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证. 【例1】（2020秋•铁西区期中）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠ACD＝∠B； （2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状？并说明理由？ （3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，点C，B，E在同一直线上，若AB⊥BD，AB＝BD，则CE与AC，DE有什么等量关系，并证明． 【解题思路】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可； （2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可； （3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可． 【解答过程】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠ACD＝∠B； （2）△ADE是直角三角形． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∴△ADE是直角三角形； （3）CE＝AC+DE，理由如下： ∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD， ∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°， ∴∠A＝∠DBE，∠ABC＝∠BDE， 在△ABC与△BDE中 ， ∴△ABC≌△BDE（ASA）， ∴CB＝DE，BE＝AC， ∴CE＝BC+BE＝AC+DE； 【变式1-1】（2021春•盐城期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，∠CGF＝∠CFG．求证：AF平分∠BAC． 【解题思路】由三角形的内角和定理结合垂直的定义可求得∠CAF+∠CFG＝90°，∠AGE+∠FAE＝90°，进而可得∠CAF＝∠FAE，即可证明结论． 【解答过程】解：∵∠ACB＝90°，∠CAF+∠ACB+∠CFG＝180°， ∴∠CAF+∠CFG＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∵∠AEC+∠AGE+∠FAE＝180°， ∴∠AGE+∠FAE＝90°， ∵∠AGE＝∠CGF＝∠CFG， ∴∠CAF＝∠FAE， ∴AF平分∠BAC． 【变式1-2】（2020秋•丰城市期中）（1）如图①，△ABC是锐角三角形，高BD，CE相交于点H，找出∠BHC和∠A之间存在何种等量关系；并证明你的结论 （2）如图②，若△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD，CE所在的直线相交于点H，请你判断此时（1）中的等量关系是否仍然成立？并说明理由． 【解题思路】（1）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案； （2）根据对顶角的性质，可得∠BHC与∠EHD的关系，根据四边形的内角和定理，可得答案． 【解答过程】解：（1）∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∵∠A+∠ADB+∠AEC+∠DHE＝360°， ∴∠DHE＝360﹣（∠A+∠ADB+∠AEC）＝360﹣（∠A+90+90）＝180﹣∠A ∴∠BHC＝∠DHE＝180﹣∠A （2）∵BD⊥AC， ∴∠ADH＝90° ∵CE⊥AB， ∴∠AEH＝90° ∵∠DAE+∠ADH+∠AEH+∠BHC＝360 ∴∠BHC＝360﹣（∠DAE+∠ADH+∠AEH）＝360﹣（∠DAE+90+90）＝180﹣∠DAE ∴∠BHC＝180﹣∠A 【变式1-3】（2021春•庐江县期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE． （1）求证：∠EAB＝∠CED； （2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 　 　（直接写出答案即可）； （3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°） 【解题思路】（1）根据垂直得到直角三角形，由直角三角形两锐角互余利用等量代换证明结论； （2）通过作FM∥AB∥CD可证∠DFA＝∠CDF+∠BAF，因为∠CDE+∠BAE＝90°和角平分线的定义