第20讲 二次函数中梯形的存在性问题（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第20讲二次函数中梯形的存在性问题（核心考点讲与练） 【基础知识】 类型一：一般梯形 1.知识内容： 梯形的限制较少，所以可能出现的情况就会有很多，在处理时需要想清所有可能情况，再进行讨论处理。有一种比较常见的情况是：若已知三点ABC，另一点M在某固定直线上，形成的四边形ABCM为梯形，则会有两种情况：①AM//BC；②CM//AB，如图所示。 2.解题思路： （1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 分情况进行讨论； （3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程； （4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标； （5） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答． 注：若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等． 类型二：特殊梯形 1.知识内容： 特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两种．对于这两种情况，只需在之前平行的基础上，增加考虑直角或腰相等的条件． 2.解题思路： 直角梯形： （1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 寻找已有的直角，进而判断可能的平行直线； （3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程； （4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标； （5） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答． 等腰梯形： （1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 分情况讨论； （3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程； （4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标； （5） 验证所有形成的梯形是否等腰，并作答． 【考点剖析】 1．（2021•浦东新区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m． （1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当m＝2时，求抛物线的表达式； （3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值． 2．（2022春•松江区校级期中）已知抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5，6)． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在x轴上，且和相似，求点E的坐标； （3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标． 【过关检测】 1．（2021•青浦区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D． （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）时，求OE的长． 2．（2019秋•闵行区期末）如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三点． （1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标； （2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值； （3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标． 3.在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（，0）和点B，与y轴交于点C（0，）． （1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴； （2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标； （3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t > 3，如果和的面积相等，求t的值． 4.已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x = 4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B． （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标； （2）如图1，在直线 y = 2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，已知二次函数的图像经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线BM上有点，联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条