第19讲 二次函数中平行四边形的存在性（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第19讲 二次函数中平行四边形的存在性（核心考点讲与练） 【基础知识】 类型一：已知三点的平行四边形问题 1、 知识内容： 已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图．第四个点M则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M点）． 2、 解题思路： （1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3） 更换顶点，求出所有可能的点； （4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答． 类型二：存在动边的平行四边形问题 1、 知识内容： 在此类问题中，往往是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且相等列出方程，进而解出相关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解． 2、 解题思路： （1） 找到或设出一定平行的两条边（一组对边）； （2） 分别求出这组对边的值或函数表达式； （3） 列出方程并求解； （4） 返回题面，验证求得结果． 【考点剖析】 1．（2022春•静安区期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝1，交x轴于点E． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D为此抛物线的顶点，证明：∠CDB＝∠CAB； （3）在x轴上是否存在一点M，以及抛物线上一点N，使得以M、N、B、C四点构成的四边形为平行四边形？如果有，请直接写出点M的坐标；如果没有，请说明理由． 2．（2022•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣2mx+3的图象与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4． （1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标； （2）点E是二次函数图象上一个动点，作直线EF∥x轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标； （3）若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小． 3．（2021春•徐汇区月考）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x+4经过A，C两点． （1）求抛物线的表达式； （2）在AD上方的抛物线上有一动点Q． ①如图1，当点P运动到某位置时，以Q为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标． ②如图2，过点O，P的直线y＝kx交AC于点E，若PE：OE＝3：8，求k的值． 4．（2020秋•静安区校级月考）如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，纵坐标为2，BC∥x轴，BC＝3OC，二次函数的图象经过A、B、C三点． （1）求反比例函数和二次函数的解析式； （2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长． 5．（2020•崇明区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC、BC、CD、BD． （1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴； （2）当S△BCD＝4S△AOC时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 6.已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO = MA．二次函数的图像经过点A、M． （1）求线段AM的长； （2）求这个二次函数的解析式； （3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 7.在平面直角坐标系xOy中，经过点A（，0）的抛物线与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称. （1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角； （2）如果点E是抛物线上的一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD于点G，设E的横坐标为m，的周长为l，试用m表示l； （3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标． 【过关检测】 1．（2022•宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求经过A、D两点的直线的表达式； （3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． 2．（2021秋•崇明区期末）如图，抛